Demi-droite
Une demi-droite est une portion infinie d'une droite délimitée par un point (appelé son origine), s'étendant infiniment dans une seule direction. Elle se distingue du segment, qui est borné des deux côtés, et de la droite complète, qui est illimitée dans les deux directions. Dans la convention géométrique usuelle, elle inclut son origine ; sur une droite repérée, on parle parfois de demi-droite ouverte pour une variante qui exclut le point frontière et doit être signalée explicitement. En mathématiques, la demi-droite est un outil fondamental en géométrie et sert à définir les angles et les rayons.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier l’origine et le sens d’une demi-droite.
- Lire la notation [AB) et comprendre pourquoi l’ordre des points compte.
- Tester l’appartenance d’un point avec une paramétrisation.
- Distinguer une demi-droite d’un segment, d’une droite et d’un vecteur.
En clair
Posez un point A sur une feuille, puis tracez un trait qui part de A et se poursuit toujours dans le même sens. Le point A est l’origine : il fixe le départ, mais pas l’arrivée. Le trait représente une demi-droite, car il n’a pas de seconde extrémité.
Pour préciser son orientation, on choisit un second point B. La demi-droite d’origine A passant par B continue au-delà de B, sans jamais revenir du côté opposé à B.
Définition
Dans le plan, une demi-droite est une partie d’une droite déterminée par une origine A et par un sens. Un second point B, distinct de A, fixe ce sens. La notation [AB) désigne la demi-droite d’origine A qui passe par B. L’ordre des lettres compte : [AB) et [BA) n’ont pas la même origine et ne décrivent donc pas le même ensemble.
Si le vecteur allant de A vers B est noté , les points M de [AB) sont exactement ceux obtenus avec un nombre réel t positif ou nul : . La condition t ≥ 0 interdit de partir dans le sens opposé. Le cas t = 0 donne M = A : selon la convention géométrique usuelle, l’origine appartient à la demi-droite.
Sur une droite repérée, on parle aussi de demi-droite ouverte lorsque le point frontière est exclu, par exemple pour représenter un intervalle. Cette variante doit être signalée explicitement : elle ne correspond pas à la notation géométrique usuelle [AB), qui inclut A. Une demi-droite sert notamment de côté à un angle et modélise un rayon orienté depuis une origine.
De quoi c'est fait
Une demi-droite réunit quatre données liées. Sa droite support fixe l’alignement de tous ses points. Son origine A marque l’unique frontière finie. Un second point B, différent de A, choisit l’un des deux sens possibles sur la droite support. Enfin, l’ensemble comprend tous les points du segment [AB], puis tous les points situés au-delà de B dans ce même sens.
L’origine seule ne suffit pas : sur une même droite, deux demi-droites opposées partent de A. Le point B seul ne suffit pas non plus, car son rôle dépend de l’origine choisie. En revanche, le couple ordonné (A, B) construit sans ambiguïté [AB). La longueur dessinée, l’épaisseur, la couleur et la flèche graphique aident à lire la figure, mais ne définissent pas l’objet mathématique, qui reste infini.
Un exemple, pas à pas
Dans un repère, on considère le point A de coordonnées (1 ; 2) et le point B de coordonnées (4 ; 4). On veut décrire la demi-droite [AB) et vérifier si le point C de coordonnées (7 ; 6) lui appartient.
1. Le vecteur allant de A vers B a pour coordonnées .
2. Tout point M de [AB) s’écrit donc .
3. Pour atteindre C, la première coordonnée impose 1 + 3t = 7, donc t = 2. La seconde donne bien 2 + 2 × 2 = 6.
Le même nombre t = 2 convient aux deux coordonnées et il est positif : C appartient à [AB). Un contrôle visuel confirme que A, B et C sont alignés, dans cet ordre, avec B entre A et C. La figure prolonge encore le tracé pour rappeler que C n’est pas une extrémité.
En pratique
Pour nommer le côté d’un angle, on utilise une demi-droite : le sommet de l’angle est son origine. Une droite conviendrait mal, car elle ajouterait un sens opposé qui ne fait pas partie du côté considéré.
Dans une construction, deux points ordonnés suffisent à fixer le départ et le sens. On choisit un segment si l’objet doit s’arrêter au second point ; on choisit [AB) s’il doit continuer au-delà de B.
Dans un repère, la forme paramétrique sert à tester l’appartenance d’un point. Il faut obtenir le même paramètre pour toutes les coordonnées et vérifier qu’il est positif ou nul. Sans cette dernière vérification, on pourrait retenir par erreur un point aligné situé derrière l’origine.
À ne pas confondre
Segment. Le segment [AB] possède deux extrémités et s’arrête en B. La demi-droite [AB) possède une seule origine et continue au-delà de B ; le point C(7 ; 6) de l’exemple appartient à [AB), mais pas au segment [AB].
Droite. La droite (AB) se prolonge dans les deux sens. Un point aligné avec A et B mais placé derrière A appartient à (AB), alors qu’il n’appartient pas à [AB).
Vecteur. Le vecteur allant de A vers B code une direction, un sens et un déplacement. La demi-droite est un ensemble de points : plusieurs vecteurs de même sens peuvent la paramétrer, à condition qu’ils soient non nuls et colinéaires à sa droite support.
Limites et pièges
Deux points confondus. Si B = A, le couple (A, B) ne donne aucun sens : le vecteur allant de A vers B est nul. Il faut choisir un second point distinct de l’origine.
Flèche de dessin. La pointe indique le sens et le prolongement indéfini ; sa position n’est pas une extrémité. Il ne faut donc pas mesurer la longueur apparente du tracé comme celle de la demi-droite.
Origine exclue. Dans la convention géométrique habituelle, [AB) contient A. Sur une droite repérée, une demi-droite dite ouverte exclut son point frontière ; on doit alors employer une notation d’intervalle ou annoncer explicitement cette convention.
Ordre des lettres. Échanger A et B change l’origine. Les demi-droites [AB) et [BA) se font face sur la même droite et leur partie commune est le segment [AB] ; il faut lire d’abord la lettre placée à gauche du crochet.
Pour aller plus loin
La description paramétrique relie directement géométrie et calcul. Remplacer le vecteur allant de A vers B par un multiple positif non nul ne change pas la demi-droite ; un multiple négatif conserve la droite support, mais inverse le sens.
Deux demi-droites de même origine forment les côtés d’un angle. Leur ouverture dépend de leurs directions, pas de la longueur visible de leur tracé. Cette distinction prépare l’étude des angles, des rayons géométriques et, plus généralement, des directions dans un espace affine.
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