Lieu géométrique
Un lieu géométrique est l'ensemble de tous les points d'un espace satisfaisant une propriété géométrique donnée. Par exemple, l'ensemble des points équidistants de deux points fixes est la médiatrice du segment qu'ils forment et, dans le plan euclidien, l'ensemble des points équidistants d'un point fixe extérieur à une droite fixe et de cette droite est une parabole non dégénérée. La détermination d'un lieu géométrique est une démarche classique en géométrie qui consiste à caractériser précisément cet ensemble, souvent par une équation cartésienne ou une construction géométrique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier un lieu comme l'ensemble exact des points vérifiant une propriété.
- Déterminer par le calcul la médiatrice de deux points dans un repère.
- Éviter les solutions ajoutées et les conclusions dépendant d'un espace non précisé.
En clair
Placez deux points distincts sur une feuille et cherchez tous les endroits où poser un troisième point à la même distance des deux premiers. Ces endroits ne sont pas dispersés au hasard : ils forment une droite, la médiatrice du segment.
Un lieu géométrique rassemble ainsi les positions qui respectent une même règle. Selon la règle, ce lieu peut être une droite, un cercle, une courbe, plusieurs morceaux séparés, quelques points ou même aucun point.
Définition
Dans un espace fixé, un lieu géométrique est l'ensemble des points qui vérifient une propriété donnée, et seulement ceux-là. Déterminer ce lieu demande donc d'établir une équivalence : un point appartient au lieu si et seulement s'il satisfait la propriété. Le choix de l'espace ambiant fait partie du problème ; une même condition peut produire une droite dans un plan et un plan dans l'espace.
La propriété peut porter sur une distance, un angle, un alignement ou une relation entre coordonnées. Dans un repère, on traduit souvent cette condition par une équation cartésienne dont les solutions sont exactement les coordonnées des points du lieu. Une construction géométrique peut donner le même ensemble sans coordonnées. Ainsi, les points équidistants de deux points fixes distincts forment la médiatrice de leur segment. Dans le plan euclidien, les points dont la distance à un point fixe est égale à la distance à une droite fixe forment une parabole non dégénérée lorsque le point fixe n'appartient pas à la droite ; dans un autre espace ambiant, la même condition peut définir un autre lieu.
Un exemple, pas à pas
Dans un repère orthonormé, on cherche le lieu des points situés à égale distance des points A et B. Les données sont :
A a pour coordonnées (−2 ; 0).
B a pour coordonnées (4 ; 0).
Le point variable M a pour coordonnées (x ; y).
A a pour coordonnées (−2 ; 0).
B a pour coordonnées (4 ; 0).
Le point variable M a pour coordonnées (x ; y).
1. La condition du lieu s'écrit MA = MB. Comme les distances sont positives, on peut comparer leurs carrés.
2. Avec la formule de distance dans un repère orthonormé, l'égalité devient :
3. Les termes en y2 s'annulent. En développant les deux carrés, on obtient x2 + 4x + 4 = x2 − 8x + 16, puis 12x = 12.
4. Le résultat est x = 1, tandis que y peut prendre toute valeur réelle. Le lieu est donc la droite d'équation x = 1, médiatrice du segment [AB].
Le dessin matérialise cette droite et un point témoin M de coordonnées (1 ; 2). Le contrôle est refaisable : MA2 = 32 + 22 = 13 et MB2 = (−3)2 + 22 = 13.
En pratique
Pour placer un point à égale distance de deux sites, on construit la médiatrice du segment qui les relie. Si les distances aux sites ne doivent pas être égales, une autre courbe de niveau est nécessaire.
Dans un problème de construction, on traduit chaque contrainte par un lieu. L'intersection des lieux donne les positions qui satisfont toutes les contraintes ; si l'intersection est vide, aucune position ne convient.
Avec des coordonnées, on écrit la propriété sous forme d'équation, puis on reconnaît l'ensemble des solutions. La construction synthétique reste préférable lorsque les distances et les angles se lisent directement au compas et à la règle.
À ne pas confondre
Lieu géométrique et trajectoire. Une trajectoire décrit les positions successives d'un point en mouvement, avec un ordre temporel. Un lieu ne retient que les points vérifiant une propriété. La médiatrice est un lieu, même si aucun point ne la parcourt.
Lieu géométrique et graphe d'une fonction. Un graphe de fonction associe au plus une ordonnée à chaque abscisse de son domaine. Un cercle est un lieu géométrique, mais il n'est pas le graphe d'une fonction de l'abscisse sur tout le cercle.
Limites et pièges
Une seule implication ne suffit pas. Montrer que tout point construit vérifie la propriété ne prouve pas que tous les points du lieu ont été obtenus. Il faut démontrer les deux sens de l'équivalence.
Une transformation algébrique peut ajouter des solutions. Élever une égalité au carré peut effacer une condition de signe. Chaque solution de l'équation transformée doit être contrôlée dans la propriété initiale.
L'espace ambiant change le lieu. Les points équidistants de deux points distincts forment une droite dans le plan, mais un plan dans l'espace à trois dimensions. Il faut annoncer le cadre avant de conclure.
La parabole peut dégénérer. La description par un point fixe et une droite donne la parabole usuelle si ce point n'est pas sur la droite. S'il est sur la droite, le lieu devient la droite perpendiculaire en ce point.
Pour aller plus loin
La Médiatrice développe le lieu des points équidistants des extrémités d'un segment et sa construction.
La parabole prolonge l'idée avec l'égalité des distances à un point fixe et à une droite fixe.
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