nombre de Champernowne

Écrivez 1, puis 2, puis 3, sans séparateur. Après 9 viennent 10, 11, 12 et ainsi de suite. Placée après une virgule, cette file donne 0,123456789101112… : la constante de Champernowne en base 10.

Sa règle de fabrication est très régulière, même si ses chiffres ne se répètent pas selon une période. À force d'énumérer tous les entiers, chaque motif fini apparaît quelque part. Plus fortement, les motifs de même longueur ont la même fréquence à long terme.

En base 10, la constante de Champernowne, notée C₁₀, est le réel compris entre 0 et 1 dont les chiffres après la virgule sont les écritures décimales des entiers positifs, juxtaposées dans l'ordre croissant. La construction commence donc par 1, conformément au développement affiché : C₁₀ = 0,12345678910111213… Elle porte le nom du statisticien anglais D. G. Champernowne (1912–2000).

Ce nombre est irrationnel et même transcendant. Il est univers en base 10 : tout bloc fini de chiffres apparaît dans son développement. Il est aussi normal en base 10. Précisément, pour toute longueur n au moins égale à 1, chacun des 10ⁿ blocs possibles de n chiffres a pour fréquence limite 1/10ⁿ. La normalité implique ici l'universalité, mais elle affirme davantage que la simple présence des blocs.

La même recette s'emploie dans une autre base b : on juxtapose les écritures en base b des entiers positifs. La source donne ainsi C₂ = 0,11011100101110111… et C₃ = 0,12101112202122… Chaque indice rappelle la base utilisée pour écrire les entiers et lire le développement. La normalité mentionnée ici est celle de C₁₀ en base 10.

Construisons les 17 premiers chiffres de C₁₀ et repérons le quinzième. Les données sont les entiers de 1 à 13, leur écriture décimale usuelle et une numérotation des positions qui commence à 1 juste après la virgule.

1. Juxtaposons les neuf entiers à un chiffre : 1|2|3|4|5|6|7|8|9. Ils occupent exactement les positions 1 à 9.

2. Ajoutons 10, 11, 12 et 13, deux chiffres chacun : 10|11|12|13. Ce nouveau morceau occupe les positions 10 à 17. La figure conserve les séparations entre entiers tout en numérotant chaque chiffre.

3. Le début complet est donc C₁₀ = 0,12345678910111213… Aux positions 14 et 15 se trouve le bloc 12 ; le quinzième chiffre vaut 2.

4. Contrôlons le rang : les entiers 1 à 9 fournissent 9 chiffres, puis 10 et 11 en fournissent 4. Le nombre 12 commence donc en position 9 + 4 + 1 = 14 et se termine en position 15.

Pour produire un préfixe de C₁₀, écrivez les entiers successifs sans ponctuation, puis arrêtez-vous au rang voulu. Si le but est seulement de générer des chiffres sans structure prescrite, un générateur pseudo-aléatoire répond à une autre tâche et ne reproduit pas cette construction.

Pour retrouver un chiffre éloigné sans écrire tout le préfixe, comptez d'abord les blocs d'entiers ayant un, deux, puis trois chiffres. Le changement à 10, 100 ou 1 000 indique quand passer à la longueur suivante ; une concaténation directe reste préférable pour un rang très petit.

Pour étudier les fréquences, comptez les occurrences de chaque motif sur des préfixes de plus en plus longs. Ces comptages illustrent la normalité ; la démonstration mathématique, elle, porte sur la fréquence limite de tous les blocs et ne se remplace pas par une longue expérience numérique.

Nombre univers et nombre normal. Un nombre univers contient chaque bloc fini au moins une fois ; un nombre normal impose en plus des fréquences limites égales. La constante C₁₀ satisfait les deux propriétés en base 10, mais trouver un motif donné ne teste que son universalité locale.

Irrationnel et transcendant. Un irrationnel n'est le quotient d'aucun entier par un entier non nul. Un transcendant n'est racine d'aucun polynôme non nul à coefficients entiers. C₁₀ est transcendante, affirmation plus forte que sa seule irrationalité.

La base fait partie de la définition. Les écritures 10, 11 ou 12 ne représentent pas les mêmes valeurs ni les mêmes chiffres selon la base. Un calcul qui mélange les écritures de C₂, C₃ et C₁₀ a perdu son repère ; il faut fixer la base avant toute concaténation.

Le premier entier est 1. La convention visée par 0,123456789… juxtapose 1, 2, 3, et ainsi de suite. Insérer 0 en tête produit un autre développement ; le préfixe affiché dans la définition permet de trancher si l'expression « entiers naturels » inclut 0 dans un autre contexte.

Un préfixe ne prouve pas une limite. Sur les 17 premiers chiffres, les fréquences sont très inégales et certains blocs manquent encore. Ce symptôme ne contredit pas la normalité, qui concerne la limite lorsque la longueur du préfixe tend vers l'infini.

Normalité relative à une base. La propriété donnée par la source concerne C₁₀ en base 10. Elle ne permet pas, à elle seule, de conclure que ce même réel est normal dans toute autre base ; il faut toujours nommer la base de la propriété étudiée.

nombre normal — Préciser l'équipartition limite des blocs de même longueur, propriété plus exigeante que leur seule présence.

nombre univers — Isoler le critère selon lequel chaque suite finie de chiffres apparaît dans le développement.

Développement décimal — Revoir le support d'écriture sur lequel la concaténation et les positions des chiffres sont définies.