orthodromie

Tendez un fil entre deux points d’un globe : le fil épouse un arc qui donne le trajet le plus court sur la sphère. Cet arc est une orthodromie. Il appartient à un grand cercle, dont le centre est celui de la sphère.

Une carte plane déforme cette géométrie. Sur une carte de Mercator, l’orthodromie se courbe souvent vers un pôle, même si elle raccourcit le voyage. La droite de la carte suit plutôt un cap constant : c’est une loxodromie.

Sur une sphère, une orthodromie est un arc de grand cercle reliant deux points. Le grand cercle est l’intersection de la sphère avec un plan passant par son centre. Entre deux points distincts et non antipodaux, l’arc le plus court de ce cercle est unique. Sa longueur est le rayon de la sphère multiplié par l’angle au centre, exprimé en radians.

Notons R le rayon, φ₁ et φ₂ les latitudes, Δλ l’écart de longitude, θ l’angle au centre et d la longueur de l’orthodromie. Sur une sphère, ces grandeurs vérifient :

Sur une projection de Mercator, une loxodromie à cap constant est représentée par une droite, tandis que l’orthodromie est généralement courbe. Une projection gnomonique inverse ce repère visuel : les orthodromies y sont droites. Pour un trajet globalement est-ouest, le point de latitude extrême de l’orthodromie est le vertex.

Deux points A et B se trouvent à la latitude 60° N. Le point A est à la longitude 0° et le point B à 90° E. On modélise la Terre par une sphère de rayon R = 6 371 km.

1. L’écart de longitude vaut 90°. La formule sphérique donne un angle au centre θ d’environ 41,41° :
$\theta =\arccos ({\sin }^2{60}^{\circ }+{\cos }^2{60}^{\circ }\cos {90}^{\circ })\approx {\mathrm{41,41}}^{\circ }\backslash theta=\backslash arccos(\backslash sin^2\; 60^\backslash circ+\backslash cos^2\; 60^\backslash circ\backslash cos\; 90^\backslash circ)\backslash approx\; 41\{,\}41^\backslash circ$.

2. Notons d_o la longueur orthodromique. Après conversion de θ en radians, elle vaut environ 4 605 km :
$d_o=6371\times \mathrm{0,72273}\approx 4605\mathrm{k}\mathrm{m}d\_o=6371\backslash times\; 0\{,\}72273\backslash approx\; 4605\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$.

3. La loxodromie plein est reste sur le parallèle de 60° N. Notons d_l sa longueur. Elle vaut environ 5 004 km :
$d_l=6371\cos {60}^{\circ }\times \frac{\pi }{2}\approx 5004\mathrm{k}\mathrm{m}d\_l=6371\backslash cos\; 60^\backslash circ\backslash times\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash approx\; 5004\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$.

4. L’orthodromie économise environ 399 km. Par symétrie, son vertex est à mi-longitude, 45° E. Sa latitude φ_v vaut environ 67,79° N :
${\phi }_v=\arctan \left(\frac{\tan {60}^{\circ }}{\cos {45}^{\circ }}\right)\approx {\mathrm{67,79}}^{\circ }\backslash varphi\_v=\backslash arctan\backslash left(\backslash frac\{\backslash tan\; 60^\backslash circ\}\{\backslash cos\; 45^\backslash circ\}\backslash right)\backslash approx\; 67\{,\}79^\backslash circ$.
Le contrôle 5 004 − 4 605 = 399 retrouve le gain arrondi.

Pour préparer un long trajet, on compare la distance orthodromique à celle d’une route à cap constant. Plus l’écart devient sensible, notamment aux hautes latitudes, plus l’orthodromie devient utile pour réduire la distance.

Sur une carte de Mercator, le navigateur ne choisit pas la ligne la plus droite à l’œil. Il reporte plusieurs points de l’orthodromie courbe, puis adapte le cap entre ces points. La loxodromie reste l’alternative lorsque le cap constant est le critère prioritaire.

Une projection gnomonique ou une carte orthodromique rend la route minimale rectiligne. Ce support est donc choisi pour construire l’itinéraire ; une autre carte peut ensuite servir à son suivi pratique.

Loxodromie. Elle suit un cap constant : lorsqu’elle traverse des méridiens, elle le fait sous un angle constant. Sur une carte de Mercator, elle est droite. L’orthodromie minimise la distance sur la sphère, mais son cap varie généralement. Entre A et B à 60° N dans l’exemple, la ligne horizontale de Mercator mesure environ 5 004 km : c’est la loxodromie, non l’orthodromie d’environ 4 605 km.

Points antipodaux. Deux points diamétralement opposés n’ont pas une orthodromie minimale unique : chaque grand cercle qui les contient fournit un demi-cercle de même longueur. Il faut donc ajouter un critère de choix.

Arc majeur. Un même grand cercle offre deux arcs entre deux points non antipodaux. Seul l’arc de moins de 180° est le plus court. L’autre appartient au même grand cercle, mais ne réalise pas la distance minimale.

Piège de projection. La courbure visible sur Mercator ne signifie pas que la route est plus longue. Elle vient de la projection. Inversement, une droite sur cette carte indique un cap constant, pas nécessairement une distance minimale.

Domaine du modèle. Les formules données supposent une surface sphérique et un rayon fixé. Si le support étudié n’est pas sphérique, il faut employer la géodésique propre à cette surface plutôt que reprendre automatiquement le calcul sphérique.

La fiche loxodromie approfondit la route à cap constant et le critère qui la distingue du trajet minimal.

La fiche Géodésique replace le plus court chemin dans le cadre plus général des surfaces.