Valeur principale

Imaginons la courbe de la fonction 1/x entre −1 et 1. Elle plonge d'un côté de 0 et monte de l'autre, si bien que les deux aires ne peuvent pas être calculées séparément jusqu'au point 0. On découpe alors le même petit intervalle à gauche et à droite de 0. Pour chaque découpe symétrique, les contributions opposées se compensent exactement.

La valeur principale retient la limite de ces sommes lorsque la découpe rétrécit. Elle impose donc un équilibre précis ; elle ne prétend pas que l'intégrale impropre ordinaire converge.

La valeur principale de Cauchy s'applique à une intégrale dont la fonction f possède une singularité au point a, situé entre deux bornes b et c. Au lieu de faire tendre indépendamment les deux intégrales impropres vers a, on retire autour de a un intervalle de même largeur de chaque côté. Cette largeur positive est notée ε.

Cette limite doit exister et être finie. La symétrie porte sur la distance à a, et non sur les valeurs prises par f. Une intégrale impropre ordinaire exige que les contributions situées de chaque côté de la singularité convergent séparément. La valeur principale peut exister lorsque ces contributions divergent mais que leurs divergences se compensent sous la troncature symétrique. Elle attribue alors un sens précis à l'expression, sans rendre l'intégrale convergente au sens ordinaire.

Calculons la valeur principale de l'intégrale de 1/x entre −1 et 1. Les données sont les bornes −1 et 1, la singularité a = 0 et une largeur de coupure ε strictement positive et inférieure à 1.

1. Retirons l'intervalle ]−ε, ε[. La somme tronquée est

2. Une primitive de 1/x sur chacun des deux intervalles est ln|x|. Le morceau gauche vaut ln(ε), tandis que le morceau droit vaut −ln(ε).

3. Additionnons les deux résultats : $\ln (\epsilon )-\ln (\epsilon )=0\backslash ln(\backslash varepsilon)-\backslash ln(\backslash varepsilon)=0$. Cette égalité vaut pour toute coupure admissible, avant même de passer à la limite.

4. Quand ε tend vers 0 par valeurs positives, la somme reste égale à 0. La valeur principale est donc 0.

Le contrôle est refaisable avec ε = 1/4 : ln(1/4) à gauche et −ln(1/4) à droite donnent encore 0. Pourtant, pris séparément, les deux morceaux n'ont pas de limite finie lorsque ε tend vers 0.

Pour étudier une intégrale avec une singularité intérieure, on commence par tester les deux intégrales impropres séparément. Si elles convergent, leur somme ordinaire suffit. Si elles divergent et qu'une compensation symétrique est pertinente, on calcule explicitement la valeur principale.

Dans un calcul numérique, on retire le même ε de part et d'autre de la singularité, puis on recommence avec des valeurs de ε plus petites. Une somme qui se stabilise fournit un indice de convergence ; une coupure dissymétrique teste si le résultat dépend du procédé choisi.

En théorie des distributions, la notation vp(1/x) conserve précisément cette compensation lorsqu'on fait agir 1/x sur une fonction test. On emploie alors la valeur principale, et non une intégrale ordinaire de 1/x au voisinage de 0.

Intégrale impropre convergente. Elle exige une limite finie de chaque côté de la singularité. Pour 1/x sur [−1, 1], ces limites séparées divergent alors que la valeur principale symétrique vaut 0 : les deux verdicts sont donc différents.

Valeur moyenne d'une fonction. Elle divise l'intégrale ordinaire sur un intervalle par la longueur de cet intervalle. La valeur principale de 1/x sur [−1, 1] vaut 0, mais ce nombre n'est pas une valeur moyenne ordinaire puisque 1/x n'y est pas intégrable.

La compensation peut échouer. Retirer un voisinage symétrique ne garantit pas l'existence d'une limite finie. Si les contributions restantes ne se stabilisent pas quand ε diminue, aucune valeur principale n'est obtenue par cette définition.

Une coupure asymétrique change le résultat. Pour 1/x sur [−1, 1], retirer ]−ε, 2ε[ donne $\ln (\epsilon )-\ln (2\epsilon )=-\ln 2\backslash ln(\backslash varepsilon)-\backslash ln(2\backslash varepsilon)=-\backslash ln\; 2$, au lieu de 0. Il faut donc conserver la même distance à 0 des deux côtés.

La divergence ordinaire demeure. Une valeur principale finie ne permet pas de traiter automatiquement la fonction comme intégrable. Avant d'utiliser un résultat qui suppose une intégrale convergente, il faut vérifier ses hypothèses avec la notion d'intégrale exigée.

Impropre (intégrale) précise comment une intégrale ordinaire est définie lorsque sa borne ou son intégrande devient problématique.

singularité aide à reconnaître le point autour duquel la troncature symétrique doit être organisée.

Intégrable permet de distinguer l'existence d'une intégrale ordinaire de celle d'une valeur principale.

L'article Les distributions : prolonge la notation vp(1/x) dans un cadre où elle agit sur des fonctions test.