Le monde serait sans aucun doute plus simple si toute chose pouvait se quantifier par des entiers ou, pour n’oublier rien ni personne, par des proportions d’entiers : un monde où tout serait commensurable. Cette idée, centrale dans la philosophie de Pythagore, est rapidement mise à mal par une découverte : il existe des nombres qui ne sont pas rationnels (on ne peut les écrire comme des fractions d’entiers). Le nombre en est un exemple célèbre, peut-être historiquement le premier dont on ait compris qu’il était irrationnel (ce qui peut se démontrer assez facilement par l’absurde).
Les racines irrationnelles
La question de l’incommensurabilité est au cœur d’un passage du Théétète, un dialogue de Platon sur le savoir. Une page de ce texte reste célèbre chez les scientifiques :
« Théodore, ici présent, nous dessinait quelque chose à propos des puissances, faisant apparaître, sur celles de trois pieds et de cinq pieds, qu’elles ne sont pas commensurables en longueur avec la ligne d’un pied de long, et il poursuivait la même démonstration, prenant chaque puissance une par une jusqu’à celle de dix-sept pieds : mais quelque chose l’a arrêté à celle-là. À nous donc est venu à l’esprit quelque chose de ce genre : puisqu’il était visible que les puissances, dans leur multitude, sont infinies, tenter de les rassembler dans une unité, grâce à quoi c’est leur totalité que nous appellerons : les puissances. » (Théétète, 147e, trad. Michel Narcy, Garnier-Flammarion, 2016).
On trouve deux informations importantes dans les notes que le traducteur a ajoutées en annexe pour lever une partie du voile.
