Da Euclide a Bourbaki, la riforma permanente

La riforma della matematica moderna degli anni 1960-1970 fu importante e mondiale. La si può paragonare a quella del XVII^º secolo, che vide l’algebra letterale, quella dei polinomi e delle equazioni, entrare nelle scuole secondarie e nelle università. Appena qualche decennio prima, la trigonometria si era affermata con le tavole numeriche, rese più solide dall’invenzione del logaritmo, ignoto alla geometria greca. La funzione logaritmica portò a concepire le funzioni seno, tangente… che prima erano pensate come lunghezze geometricamente individuate, senza ricorrere alla curva sinusoidale. Il vero senso di questa riforma concettuale sta nell’invenzione delle tavole numeriche: cambiano l’idea stessa della matematica, poiché bisogna imparare a gestire l’approssimazione.

Queste nuove tavole, tanto utili ai geodeti che misuravano così i territori coloniali conquistati, davano all’uomo europeo l’impressione di poter ignorare tutta la matematica sviluppata nei paesi extraeuropei e nel più antico mondo islamico, che continuava a esercitare un’influenza riconosciuta.

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La rivoluzione del calcolo integrale --------------------------------

La parola «riforma» non equivale a «rivoluzione», termine usato con troppa facilità. Ma la si può impiegare per la fine del XVII^º secolo, che comportò un investimento inaudito e inatteso della matematica nella concezione della cosmologia attraverso la meccanica celeste e, più in generale, del mondo fisico. La rivoluzione fu opera del calcolo differenziale e integrale, che aveva solo un debole sostegno geometrico, quello delle tangenti, e con scarse garanzie logiche nel senso dell’assiomatica euclidea. Acquistava una formidabile efficacia nell’indagine astratta delle nuove funzioni, fino al seno, cui forniva uno sviluppo in serie intera, rinnovando così persino il procedimento di costruzione delle tavole. Nella matematica elementare, quella dell’insegnamento che ha bisogno di norme, si instaurarono nuovi «rituali».

La riforma dell’inizio del XVII^º secolo, grazie all’uso delle tavole numeriche, introdusse l’abitudine alle frazioni e la scrittura, assai diversa, dei numeri decimali illimitati. Questa scrittura sarebbe poi servita da modello a uno dei successi collaterali della rivoluzione del calcolo differenziale e integrale: le serie intere, il cui uso era modellato sulla serie geometrica 1 + x + x² + x³ + … che esprime il numero 1/(1 – x). Si può «mostrare» il procedimento spiegando che il calcolo di a / (b – c), con tre numeri positivi a, b e c, si ricava moltiplicando a/b, naturalmente con c < b, per la serie 1 + (c /b) + (c /b) 2 + (c /b) 3 + … Così scomparve, molto lentamente, la pratica delle proporzioni.

Il ritratto qui accanto è di Ferdinand Bol e risale all’ultimo terzo del XVII^º secolo. Il matematico, non identificato ma forse John Wallis, trasmette una tranquilla determinazione. Il suo compasso di proporzione è ripiegato e, divenuto bacchetta da maestro, indica una figura geometrica tracciata alla lavagna (una novità assoluta nella pittura!). La figura sostituisce alle proporzioni le tavole numeriche, che non sono raffigurate. Tracciata in bianco, come col gesso su una lavagna, ci sembra banale: presenta le linee trigonometriche come venivano spiegate nel semicerchio trigonometrico non orientato dalla fine del XVI^º secolo (coseno, seno, tangente, secante). Far accettare queste linee, aggiungendole ai libri geometrici degli Elementi di Euclide, fu una vera riforma! Queste linee non erano nemmeno entrate nei libri detti «di geometria pratica», dedicati a varie costruzioni e scrupolosamente fedeli ai precetti euclidei, persino nelle dimostrazioni svolte.

Disciplina emergente, la trigonometria non è un prolungamento della geometria pratica e per lungo tempo avrebbe sconvolto l’ordinamento dell’insegnamento, prima che l’esponenziale complesso di Eulero e d’Alembert la facesse apparire come un’appendice facile e un po’ tediosa dell’analisi matematica. All’epoca, queste linee erano accompagnate da tavole numeriche e dunque da una pratica della misura ignota all’insegnamento universitario di allora. Veicolavano un concetto ancora difficile da elaborare: quello di funzione. Le formule della trigonometria sono lì appunto per richiamare il cerchio in ciò che potrebbe sembrare riguardare soltanto il triangolo rettangolo.

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Riforma normativa: analisi e composizione ------------------------------------------

Le reazioni sono adattamenti professionali degli insegnanti, cui spetta il difficilissimo compito di non offrire un’immagine frammentata della matematica mentre essa attraversa trasformazioni. La graziosa geometria del triangolo del XIX^º secolo può essere vista come una reazione alla geometria analitica dei manuali del XVIII^º secolo, essa stessa un’evoluzione intelligente rispetto alla geometria algebrica nata da Cartesio e Fermat.

Prendiamo il caso del matematico scozzese Robert Leslie che, nel 1822, voleva assolutamente presentare una dimostrazione geometrica elementare in due parti successive, l’analisi e la sintesi, mentre cercava di inscrivere un quadrato in un triangolo qualunque. A quell’epoca, la proporzione AF:AE::FG:EB, uguale a $\frac{AF}{AE}=\frac{FG}{EB}\backslash frac\{AF\}\{AE\}=\backslash frac\{FG\}\{EB\}$ nella notazione moderna, si esprimeva senza scrittura simbolica fin dalla tradizione greca: «AF sta ad AE come FG sta a EB.» Proprio Leslie riformava in parte la scrittura, senza tuttavia accettare ciò che potesse far pensare all’algebra.

Per favorire una «più giusta valutazione della pratica [cultivation in inglese] della matematica», e preparare le menti alla «filosofia induttiva», Leslie ripristinava consapevolmente l’«analisi geometrica» degli antichi, avendo cura di citare soltanto Euclide e soprattutto di non usare la forma delle proporzioni come uguaglianza di frazioni. La sua riforma normativa del ragionamento consiste nel dividere un problema in due parti distinte: una parte di analisi e un’altra che chiamava «di composizione», poiché non voleva usare il termine troppo logoro di «sintesi». Da dove poteva venire l’idea della dimostrazione di Leslie? Non lo dice, perché la sua «riforma» riguarda il modo di esporre la matematica, non di trovare qualcosa di nuovo.

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Della geometria, in Cina e in Grecia -------------------------------------

Le testimonianze più antiche sull’iscrizione di un quadrato in un triangolo sono quelle di Erone di Alessandria (II^º secolo) e di Liu Hui, in Cina, nel suo commento del III^º secolo al libro I Nove capitoli sui procedimenti matematici. In entrambi i casi viene data una ricetta: per il triangolo isoscele in Erone, per il triangolo rettangolo in Liu Hui. Gli autori evocano ogni volta il caso di un angolo ottuso alla base su cui si vuole costruire. Il testo cinese può essere tradotto così.

Altezza e base possono essere scambiate senza che cambi la lunghezza del lato del quadrato inscritto. Solo la figura del triangolo rettangolo permette di cogliere visivamente questa simmetria. Eppure le dimostrazioni di questi due enunciati sono radicalmente diverse! La seguente possibile ricostruzione, «alla maniera di» Erone di Alessandria, mostrerà la necessità di una riforma. Riprendiamo la figura di Leslie.

Supponiamo costruito il quadrato. Per il parallelismo di (GI) e (BD), GI sta a BD come AG sta ad AB; dunque, per «divisione di ragione», BD – GI sta a BD come AB – AG (ossia GB) sta ad AB. Ma, per il parallelismo di (GF) e (AC), GB sta ad AB come GF sta ad AC. Dunque la differenza tra l’altezza e la lunghezza cercata sta all’altezza come la lunghezza cercata sta alla base.

Questo risultato basta a determinare la lunghezza cercata per un greco dell’epoca classica, che non ha l’idea di una formula algebrica ma conosce la teoria delle proporzioni. Questa teoria, che noi abbiamo dimenticato, permetteva di riconoscere che la lunghezza del lato del quadrato inscritto è il doppio della media armonica dell’altezza e della base! La media armonica M di due grandezze h e b è, per definizione, tale che il suo inverso è la media aritmetica 1 /h + 1 /b degli inversi di h e di b. Oppure M è la terza proporzionale tra la media aritmetica e la media geometrica, cioè, nella nostra notazione, bh / (b + h). Non sembra esserci la minima possibilità che la costruzione geometrica della media armonica abbia fornito una costruzione del lato del quadrato inscritto diversa da quella riportata da Leslie. Per ottenere una formulazione della lunghezza del quadrato soltanto in termini di proporzioni, è necessario un duplice movimento intellettuale: superare le proporzioni con un po’ di algebra, poi tornare alle proporzioni. È possibile mantenere le proporzioni nel caso del quadrato inscritto, ma a quale prezzo! La dimostrazione cinese, invece, è di tutt’altra natura. Ciò che interessa i geometri cinesi è l’espressione della lunghezza x di un lato del quadrato in funzione delle lunghezze di un triangolo rettangolo (base b, altezza h, ipotenusa H).

Il procedimento cinese, come quello del calcolo di x mediante le proporzioni, algebrizzate o no, presuppone che il problema sia risolto prima di poter calcolare e dimostrare che esiste una e una sola soluzione. Bisognerà attendere René Descartes per veder comparire il primo ragionamento che certifichi a priori che il metodo impiegato condurrà davvero a una soluzione e che questa sarà unica. Nella Géométrie (1637), infatti, egli vuole identificare coefficienti allo scopo di determinare la tangente a una curva data. Considera allora un polinomio di grado 6 e spiega a priori perché nell’applicazione del metodo usato non potranno comparire radici complesse. A priori, il metodo dei coefficienti indeterminati risolve il problema posto: lo si può dunque applicare!

L’esempio del quadrato inscritto in un triangolo dato potrebbe essere servito ad al-Khwarizmi non per inventare l’algebra, il che sarebbe più di una riforma!, ma per illustrare la risoluzione mediante un’equazione. Così facendo, riforma una pratica geometrica: calcola l’area del triangolo in due modi diversi, dapprima moltiplicando base e altezza e dividendo per due, poi scomponendo il triangolo in tre piccoli triangoli, AGI, BFG e FCH, e in un quadrato, FGIH. La formula ottenuta permette di trovare x, poiché i termini quadratici in x si eliminano. Qui sta la forza dell’algebra: questa semplificazione, prevedibile, se solo ci si pensa, fa sì che il risultato sia determinato e non provenga da un’equazione di secondo grado, che rischierebbe di avere due soluzioni. La scomparsa del termine quadratico traduce la linearità del problema.

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Leggere il passato non induce al relativismo -----------------------------------------------

Nel XVI^º secolo, Jacques Peletier du Mans, che commentava con tono divertito la propria riforma di Euclide, si rallegrava nel vedere che i diversi modi di presentare la matematica non si contraddicevano. Ma fustigava anche i «furiosi» dell’assiomatica:

I «maniaci» tengono più a un rituale che a una teoria. Cercando di ottenere un testo unico e irreprensibile, i matematici hanno dovuto riformare continuamente i testi più antichi, riprendendo ciò che era già noto per essere più chiari. Vale per gli Elementi: se Euclide poté dare il tono assiomatico e irreale a molti testi matematici successivi, il suo scritto è sempre stato migliorato, ripensato, modificato, persino quando gli storici se ne impadronirono per raggiungere un Euclide originario ideale. Lo stesso vale per gli Éléments de mathématique di Nicolas Bourbaki degli anni 1950, costruiti sullo stesso principio: fu necessario rinnovare il testo più volte. C’è qualcosa di paradossale nella volontà di riforma, mentre il testo a cui si mira è ogni volta pensato come definitivo. Le «matematiche moderne», giudicate eccessivamente riformatrici, sono entrate nella norma tradizionale, e i manuali in uso negli anni 1970 furono rivisti, modificati… Sorge allora la questione dell’interesse che c’è nel leggere testi antichi, e persino recenti, quando sono stati sostituiti da nuovi testi allo scopo di migliorarli!

A nessuno verrebbe in mente di «riformare» i testi di Virgilio o di Aristotele, se non per semplificarli in antologie. Bisogna immaginare una simile sorte per i testi matematici? Leggere il brano di Leslie ha almeno contribuito a formare lo spirito critico.

Parole raccolte da É. T.

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