De Euclides a Bourbaki, la reforma permanente

La reforma de las matemáticas modernas de las décadas de 1960 y 1970 fue importante y mundial. Puede compararse con la reforma del siglo 17^.º, que vio entrar en los colegios y las universidades el álgebra literal, la de los polinomios y las ecuaciones. Apenas unas décadas antes, la trigonometría se implantaba con tablas numéricas, respaldadas por la invención del logaritmo, desconocido para la geometría griega. La función logarítmica condujo a concebir las funciones seno, tangente…, que anteriormente se pensaban como longitudes geométricamente localizadas, sin intervención de la curva sinusoidal. El verdadero sentido de esta reforma conceptual es la invención de tablas numéricas: cambian la idea de las matemáticas porque obligan a aprender a manejar la aproximación.

Estas nuevas tablas, tan útiles para los geodestas, que medían así los territorios coloniales conquistados, daban al europeo la impresión de poder ignorar todas las matemáticas desarrolladas en los países de fuera de Europa y en el mundo islámico más antiguo, que seguían ejerciendo una influencia reconocida.

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La revolución del cálculo integral --------------------------------

La palabra «reforma» no equivale a la palabra «revolución», empleada con demasiada facilidad. Pero puede usarse para finales del siglo 17^.º, que supusieron una irrupción inaudita e inesperada de las matemáticas en la concepción que se tenía de la cosmología mediante la mecánica celeste y, en general, del mundo físico. La revolución fue obra del cálculo diferencial e integral, que apenas contaba con un modesto apoyo geométrico —el de las tangentes— y carecía de grandes garantías lógicas en el sentido de la axiomática euclidiana. Adquirió una temible eficacia para investigar abstractamente las nuevas funciones, incluido el seno, al que proporcionaba un desarrollo en serie de potencias, renovando así incluso el procedimiento de elaboración de las tablas. En las matemáticas elementales, las de una enseñanza que necesita normas, se instauraron nuevos «rituales».

La reforma de comienzos del siglo 17^.º, mediante el uso de tablas numéricas, trajo consigo el hábito de las fracciones y la escritura, muy distinta, de los números decimales ilimitados. Esta escritura serviría después de modelo para uno de los logros secundarios de la revolución del cálculo diferencial e integral: las series de potencias, cuyo manejo tomaba como modelo la serie geométrica 1 + x + x² + x³ + … que expresa el número 1/(1 – x). Podemos «ver» el procedimiento indicando que el cálculo de a / (b – c), con tres números positivos a, b y c, se realiza a partir de la multiplicación de a/b, naturalmente con c < b, gracias a la serie 1 + (c /b) + (c /b) 2 + (c /b) 3 + … Así desapareció muy lentamente la práctica de las proporciones.

El retrato de al lado es obra de Ferdinand Bol, del último tercio del siglo 17^.º. El matemático, no identificado pero que podría ser John Wallis, transmite una serena resolución. Su compás de proporción está plegado y, convertido en vara del maestro, señala una figura geométrica trazada en la pizarra (¡una primicia en pintura!). La figura sustituye las proporciones por tablas numéricas, que no están representadas. Trazada en blanco, como con tiza sobre una pizarra, nos parece banal: muestra las líneas trigonométricas tal como se explicaban en el semicírculo trigonométrico no orientado desde finales del siglo 16^.º (el coseno, el seno, la tangente, la secante). ¡Lograr que se aceptaran estas líneas, como añadido a los libros geométricos de los Elementos de Euclides, fue una auténtica reforma! Estas líneas ni siquiera habían accedido a los llamados libros «de geometría práctica», que se ocupaban de diversas construcciones remitiéndose escrupulosamente a los preceptos euclidianos, incluso en las demostraciones realizadas.

Como disciplina emergente, la trigonometría no era una prolongación de la geometría práctica y alteró durante mucho tiempo la organización de la enseñanza, antes de que la exponencial compleja de Euler y d'Alembert la hiciera aparecer como un apéndice fácil, y algo tedioso, del análisis matemático. Entonces, estas líneas iban acompañadas de tablas numéricas y, por tanto, de una práctica de medición desconocida en la enseñanza universitaria de la época. Eran portadoras de un concepto difícil de alumbrar: el de función. Las fórmulas de la trigonometría están ahí precisamente para recordar el círculo en lo que podría parecer que solo concierne al triángulo rectángulo.

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Reforma normativa: análisis y composición ------------------------------------------

Las reacciones son ajustes profesionales de los profesores, que tienen la muy difícil tarea de no presentar una imagen fragmentada de las matemáticas cuando estas experimentan mutaciones. La bella geometría del triángulo del siglo 19^.º puede verse como una reacción a la geometría analítica de los manuales del siglo 18^.º, a su vez una inteligente evolución respecto de la geometría algebraica surgida de Descartes y Fermat.

Tomemos el caso del matemático escocés Robert Leslie, quien en 1822 quería presentar a toda costa una demostración geométrica elemental en dos partes sucesivas, el análisis y la síntesis, cuando buscaba inscribir un cuadrado en un triángulo que él calificaba de cualquiera. En esa época, la proporción AF:AE::FG:EB, igual a $\frac{AF}{AE}=\frac{FG}{EB}\backslash frac\{AF\}\{AE\}=\backslash frac\{FG\}\{EB\}$ en notación moderna, se expresaba sin escritura simbólica desde la tradición griega: «AF es a AE como FG es a EB». Precisamente, Leslie reformaba en parte la escritura, sin aceptar por ello aquello que pudiera ser álgebra.

Para propiciar una «apreciación más justa del cultivo [cultivation en inglés] de las matemáticas», y preparar los ánimos para la «filosofía inductiva», Leslie restauraba deliberadamente el «análisis geométrico» de los Antiguos, cuidando de citar solo a Euclides y, en particular, de no emplear la forma de igualdad de fracciones para las proporciones. Su reforma normativa del razonamiento consiste en dividir un problema en dos partes distintas: una parte de análisis y otra que llamó «de composición», pues no quería usar la palabra demasiado gastada «síntesis». ¿De dónde puede proceder la idea de la demostración de Leslie? No lo dice, pues su «reforma» se refiere a la manera de exponer las matemáticas, no de hallar algo nuevo.

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De la geometría, en China y Grecia -------------------------------------

Los testimonios más antiguos sobre la inscripción de un cuadrado en un triángulo son el de Herón de Alejandría (siglo 2^.º) y el de Liu Hui en China, en su comentario del siglo 3^.º al libro Los nueve capítulos sobre los procedimientos matemáticos. En ambos casos se da una receta: para el triángulo isósceles en Herón y para el triángulo rectángulo en Liu Hui. Los autores evocan en cada caso el caso de un ángulo obtuso sobre la base en la que se quiere construir. El texto chino puede traducirse así.

La altura y la base pueden intercambiarse sin que varíe la longitud del lado del cuadrado inscrito. Solo la figura del triángulo rectángulo permite comprender visualmente esta simetría. Sin embargo, ¡las demostraciones de estos dos enunciados son radicalmente distintas! La siguiente reconstrucción posible, «a la manera de» Herón de Alejandría, mostrará la necesidad de una reforma. Retomemos la figura de Leslie.

Supongamos construido el cuadrado. Por el paralelismo de (GI) y (BD), GI es a BD como AG a AB; por tanto, por «división de razón», BD – GI es a BD como AB – AG (es decir, GB) es a AB. Pero, por el paralelismo de (GF) y (AC), GB es a AB como GF es a AC. Por consiguiente, la diferencia entre la altura y la longitud buscada es a la altura como la longitud buscada es a la base.

Este resultado basta para determinar la longitud buscada a un griego de la época clásica, que no tiene la idea de una fórmula algebraica pero conoce la teoría de las proporciones. Esta teoría, que nosotros hemos olvidado, permitía reconocer que la longitud del lado del cuadrado inscrito es el doble de la media armónica de la altura y la base. La media armónica M de dos magnitudes h y b se define de tal modo que su inversa es la media aritmética 1 /h + 1 /b de las inversas de h y b. O bien, M es la tercera proporcional entre la media aritmética y la media geométrica, es decir, en nuestra notación bh / (b + h). No parece haber la menor posibilidad de que la construcción geométrica de la media armónica haya dado lugar a una construcción del lado del cuadrado inscrito distinta de la relatada por Leslie. Para obtener una formulación de la longitud del cuadrado solo en términos de proporciones, hace falta un doble movimiento intelectual: superar las proporciones mediante un poco de álgebra y volver después a las proporciones. Es posible mantener las proporciones en el caso del cuadrado inscrito, ¡pero a qué precio! La demostración china, por su parte, es de naturaleza muy distinta. A los geómetras chinos les interesa la expresión de la longitud x de un lado del cuadrado en función de las longitudes de un triángulo rectángulo (base b, altura h, hipotenusa H).

El procedimiento chino, al igual que el cálculo de x mediante proporciones —algebrizadas o no—, presupone el problema resuelto antes de poder calcular y demostrar que existe una única solución. Habrá que esperar a René Descartes para ver aparecer el primer razonamiento que certifica a priori que el método empleado conducirá efectivamente a una solución y que esa solución será única. En La Géométrie (1637), en efecto, pretende identificar coeficientes con el fin de determinar la tangente a una curva dada. Considera entonces un polinomio de grado 6 y explica a priori por qué no podrán aparecer raíces complejas al aplicar el método empleado. A priori, el método de los coeficientes indeterminados resuelve el problema planteado; ¡por tanto, puede aplicarse!

El ejemplo del cuadrado inscrito en un triángulo dado pudo servir a al-Juarismi, no para inventar el álgebra —¡lo que sería más que una reforma!—, sino para ilustrar la resolución mediante una ecuación. Al hacerlo, reforma una práctica geométrica: calcula el área del triángulo de dos maneras distintas —una multiplicando la base por la altura y dividiendo entre dos; otra, descomponiendo el triángulo en tres pequeños triángulos, AGI, BFG y FCH, y un cuadrado, FGIH—. La fórmula obtenida permite hallar x porque desaparecen los términos cuadráticos en x. Ahí reside la potencia del álgebra: esta simplificación, previsible —si se piensa en ella—, hace que el resultado quede determinado y no proceda de una ecuación de segundo grado que corra el riesgo de tener dos soluciones. La desaparición del cuadrado es la traducción de un problema lineal.

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La lectura del pasado no invita al relativismo -----------------------------------------------

En el siglo 16^.º, Jacques Peletier du Mans, que comentaba su reforma de Euclides en tono divertido, se alegraba de comprobar que las distintas maneras de presentar las matemáticas no se contradecían. Pero también fustigaba a los «furiosos» de la axiomática:

Los «maniáticos» se aferran más a un ritual que a una teoría. Al buscar obtener un texto único e irreprochable, los matemáticos han tenido que reformar constantemente los textos más antiguos, retomando lo ya conocido para ganar claridad. Esto es cierto para los Elementos: aunque Euclides pudo dar el tono axiomático e irreal a muchos textos matemáticos posteriores, su obra siempre fue mejorada, repensada y modificada, incluso cuando los historiadores se apoderaron de ella para alcanzar un Euclides originario ideal. Lo mismo ocurrió con los Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki de la década de 1950, construidos sobre el mismo principio: hubo que renovar el texto varias veces. Hay algo paradójico en la voluntad de reforma, cuando el texto que se persigue se concibe cada vez como definitivo. Las «matemáticas modernas», juzgadas exageradamente reformistas, han entrado en la norma tradicional, y los manuales vigentes en la década de 1970 fueron revisados, modificados… Surge entonces la pregunta de qué interés tiene leer textos antiguos, e incluso recientes, cuando han sido reemplazados por nuevas producciones con el fin de mejorarlos.

A nadie se le ocurriría «reformar» textos de Virgilio o Aristóteles, salvo reducirlos a antologías. ¿Hay que imaginar tal destino para los textos matemáticos? Leer el fragmento de Leslie ha contribuido al menos a forjar el espíritu crítico.

Declaraciones recogidas por É. T.

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