Allo stesso modo, con una torta anziché un secondo, la geometria non si limita a ritagliarne una piccola porzione in modo qualsiasi: vi traccia un poligono regolare di q lati, per ricavarne parti uguali e prenderne p.
Condividere, dividere in pezzi, tagliare, amputare… le molte situazioni in cui si tratta di frazionare sono legate all’idea di fratturare. Il termine frattale stesso fu coniato con l’intento di evocare infinite rotture. Questa frattura, storicamente legata alla nozione di frazione, sembra davvero risuonare quando si parla di numeri rotti, un termine oggi caduto in disuso che un tempo designava frazioni di un certo tipo.
Ovunque si debba quantificare una parte di un tutto, le frazioni sono uno strumento fondamentale. Ben presto, però, coniugando l’eleganza dei numeri interi con la possibilità di eseguire divisioni, le frazioni superano il loro ruolo iniziale. Quando sono maggiori di 1, vanno oltre la semplice rappresentazione di una ripartizione e diventano un punto d’osservazione privilegiato su una grande varietà di fenomeni, in testa ai quali troneggia la nozione di proporzionalità, accompagnata dall’emblematica regola del tre.
**Oltre a consentire di osservare e di esplorare,
le frazioni offrono un trampolino per l’analisi.**
Lungi dall’essere soltanto un mondo a sé, il mondo delle frazioni è dunque anche un trampolino. Consentendo loro di superare l’ambito algebrico cui la loro definizione originaria le confina, l’analisi usa le frazioni come leva per raggiungere altri numeri e studiarli. Le frazioni continue utilizzano l’algoritmo di Euclide per penetrare nel cuore stesso delle proprietà dei numeri. La scrittura decimale apre la strada a una rappresentazione di tutti i numeri reali sotto forma standardizzata di somme di frazioni i cui denominatori sono potenze di dieci. La nozione di serie, infine, estende quest’idea a somme di frazioni qualsiasi, producendo formule considerate tra le più belle di tutta la matematica.
