In principio c’erano i numeri naturali: 0, 1, 2, 3 e così via. Il paese che li riuniva, chiamato ℕ, sembrava un modello di stabilità, perché sommando o moltiplicando due numeri naturali si otteneva sempre un numero naturale.
Il paese degli interi
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Oh, certo, la necessità di calcolare un’espressione come 4 – 9 aveva portato ad ampliare i confini. Nacque così ℤ, il paese dei numeri interi. Oltre ai numeri naturali, questo nuovo paese conteneva i loro opposti: – 1, – 2, – 3… Questi si rivelarono perfettamente compatibili con i primi, tanto che, dopo qualche problema d’integrazione dovuto soprattutto alla regola dei segni, i nuovi arrivati furono definitivamente accettati. Trovarono posto nei bollettini meteorologici che indicano la temperatura in inverno, negli ascensori diretti ai parcheggi sotterranei e anche in certi estratti conto bancari, dove però non furono sempre i benvenuti.
Da quel momento in poi, come accadeva per l’addizione e la moltiplicazione, una sottrazione non portava mai oltre i confini. Il regime del paese poté cambiare insieme alla sua popolazione: fino ad allora monoide additivo e semigruppo moltiplicativo, divenne un anello commutativo.
Raggiunta questa stabilità per la sottrazione, operazione inversa dell’addizione, si formulò un’esigenza analoga per la divisione, operazione inversa della moltiplicazione. Ben presto, però, apparve impossibile dividere 7 per 3, oppure 9 per 5, restando entro i confini di ℤ. I pochi casi più favorevoli, come la divisione di 8 per 4 o di 6 per 2, non bastarono a placare gli animi, perché il più delle volte la divisione non dava un risultato intero.
