Al principio estaban los números naturales: 0, 1, 2, 3 y todos los demás. Llamado ℕ, el país que los reunía parecía un modelo de estabilidad, pues al sumar o multiplicar dos números naturales, el resultado era siempre otro número natural.
El país de los enteros -------------------
Claro que la necesidad de calcular una expresión como 4 – 9 había llevado a ampliar las fronteras. Así nació ℤ, el país de los números enteros. Además de los números naturales, este nuevo país contenía sus opuestos: – 1, – 2, – 3… Estos resultaron muy compatibles con los primeros, de modo que, tras algunas dificultades de integración causadas principalmente por la regla de los signos, los recién llegados fueron aceptados definitivamente. Encontraron su lugar en los partes meteorológicos que indican la temperatura en invierno, en los ascensores que llevan a los aparcamientos subterráneos y también en algunos extractos bancarios, donde no siempre fueron bien recibidos.
A partir de entonces, igual que ocurría con la suma o la multiplicación, ninguna resta llevaba ya fuera de las fronteras. El régimen del país pudo cambiar al mismo tiempo que su población: hasta entonces monoide aditivo y semigrupo multiplicativo, se convirtió en un anillo conmutativo.
Una vez alcanzada esta estabilidad para la resta, operación recíproca de la suma, se planteó una exigencia análoga para la división, operación recíproca de la multiplicación. Pero pronto se vio que dividir 7 entre 3, o 9 entre 5, era imposible dentro de las fronteras de ℤ. Los pocos casos más favorables, como dividir 8 entre 4 o 6 entre 2, no lograron calmar los ánimos, pues la mayoría de las veces la división no era exacta.