Il barbiere era una donna

È nelle classi di specializzazione del penultimo e dell’ultimo anno di liceo che gli studenti formalizzano i concetti di biiezione e di cardinalità. Contando i sottoinsiemi di un insieme H con n elementi, e sapendo che 2*ⁿ > n*, ritengono vano mettere in biiezione H e l’insieme delle sue parti. In altre parole, concludono che H e P(H) non sono equipotenti (vedi l’articolo « Un viaggio nell’infinito »).

Superata questa tappa, è opportuno spingersi un po’ oltre dimostrando lo stesso risultato per un insieme H qualsiasi, potenzialmente infinito. L’interesse è molteplice: scoprire il genio di una dimostrazione tanto breve e semplice quanto miracolosa; ripercorrere le tracce di Cantor e del suo secolo; accarezzare per la prima volta la scala vertiginosa degli infiniti; riflettere sull’ipotesi del continuo…

Un ragionamento per assurdo -----------------------------

È sempre possibile iniettare un insieme H qualsiasi nell’insieme delle sue parti, anche solo associando a ogni elemento h di H il singoletto {h}. Non si troverà invece mai una suriezione (e a fortiori una biiezione) da H a P(H). Per dimostrare questo teorema, di cui ha l’intuizione e che enuncia, Cantor comincia con il negarlo… Considera dunque un’ipotetica applicazione f suriettiva da H a P(H). Poi ha l’intuizione, apparentemente bizzarra ma in realtà illuminante, di considerare il sottoinsieme C di H definito così:

La forma di C importa poco: a priori, potrebbe essere l’intero insieme H, una coppia, un singoletto oppure l’insieme vuoto. Senza pregiudicarne la natura, sappiamo tuttavia, per ipotesi (poiché C è un sottoinsieme di H e f è supposta suriettiva), che C ammette almeno una controimmagine mediante f . Fissiamone una, indicata con b, e collochiamola rispetto a C. Delle due, l’una:

• b appartiene a C = f (b). Allora, per definizione di C, b non appartiene a f (b), che è uguale a C;

• b non appartiene a C = f (b). Ora, questa stessa definizione di C impone specularmente che b appartenga a f (b) = C.

In entrambe le situazioni, l’elemento b è costretto simultaneamente ad appartenere a C e a non appartenere a C. Di fronte a tante contraddizioni, l’applicazione f non può che essere chimerica, e ciò consente di concludere.

Esposto così, questo schema arricchisce la varietà dei ragionamenti per assurdo. Completa felicemente altri casi di scuola tanto fondamentali quanto emblematici, dall’irrazionalità di √2 all’unicità di un limite, passando per l’infinità dei numeri primi.

Per quanto elegante, la dimostrazione di Cantor resta astratta. È opportuno accompagnarla con un disegno, sul quale saranno segnati alcuni elementi (c, c’, c’’… che compongono C come insieme) e collocata la controimmagine b di C mediante f, secondo l’alternativa che le si presenta.

In rosso, gli elementi che non appartengono alla propria immagine mediante f (e che dunque compongono l’insieme C); in blu, quelli che vi appartengono (e che compongono il complementare di C). Quando la controimmagine b di C appartiene a C (a sinistra), è al tempo stesso rossa e blu. Quando non appartiene a C (a destra), è al tempo stesso blu e rossa.**

Oltre a condurre, per disgiunzione di casi, soltanto a un’assurdità, il ragionamento di Cantor genera un circolo vizioso.

(a sinistra e a destra) nega sé stessa, genera un circolo vizioso.

Il barbiere e la parrucchiera --------------------------

Ma che cosa c’entra il barbiere in questa storia? Capitato un po’ come un pelo nella zuppa di Cantor, il paragone – detto dunque del barbiere – offre un espediente mnemonico per ricordarne la ricetta. Di origine controversa, la metafora fu ripresa e poi divulgata da Bertrand Russell e dai suoi contemporanei. L’insieme H rappresenta gli abitanti di una città, poniamo Siviglia in Spagna. All’applicazione f è associato il verbo « radere ». Essa manda dunque ogni abitante h di Siviglia al gruppo di sivigliani che rade.

Ora, f è ritenuta suriettiva. Sicché i membri di qualunque gruppo di individui condividono almeno un barbiere (esterno o meno al gruppo, ma abitante della città). In particolare – è un postulato di partenza, conseguenza della suriettività –, si presume che ogni abitante debba essere rasato, mentre alcuni potrebbero non radere nessuno: per costoro, f assocerà l’insieme vuoto Ø. A priori, non è incompatibile che un abitante si rada da sé e, all’occorrenza, si faccia radere anche da un altro.

Con un’unica eccezione.

In questo caso, l’insieme C riunirà tutti gli abitanti che non si radono da sé o, detto altrimenti, che sono semplici clienti. Chiamiamo «barbiere professionista» una controimmagine di C b. La domanda «Chi rade questo barbiere?» mette allora in gioco l’antinomia:

• b si rade da sé (ossia b ∈ f (b) = C), ma ciò contravviene alla sua funzione: radere soltanto persone che non si radono da sé, cioè semplici clienti. Dunque questo barbiere non si rade da sé;

• b non si rade da sé (ossia b ∉ f (b) = C) e, semplice cliente, deve essere rasato da chi ha questo compito: i barbieri professionisti… Dunque si rade da sé!

C’è davvero da impazzire. Come sfuggire allora a questa logica implacabile? Reintroducendo l’elemento umano! Potrebbe essere questo il valore dell’iniziale h. Perché gli abitanti di H dovrebbero essere soltanto uomini, per di più pelosi? Dove sono le donne? Quelle che radono, si radono o non si radono? E se la morale della storia dicesse invece… che il barbiere era una donna… e che Russell o i suoi contemporanei erano uomini…

Ma allora, rimandando la domanda al mittente… chi pettina la parrucchiera?