El barbero era una mujer

Es en las asignaturas de especialidad de los dos últimos cursos de bachillerato cuando los estudiantes de secundaria formalizan los conceptos de biyección y de cardinalidad. Al contar los subconjuntos de un conjunto H de n elementos, y sabiendo que 2*ⁿ > n*, consideran inútil intentar poner H en biyección con el conjunto de sus subconjuntos. En otras palabras, concluyen que H y P(H) no son equipotentes (véase el artículo « Un viaje al infinito »).

Superada esta etapa, conviene ir un poco más allá demostrando el mismo resultado para un conjunto H cualquiera, potencialmente infinito. El interés es múltiple: descubrir el genio de una demostración tan breve y sencilla como milagrosa; seguir las huellas de Cantor y de su siglo; rozar por primera vez la vertiginosa escala de los infinitos; reflexionar sobre la hipótesis del continuo…

Un razonamiento por reducción al absurdo -----------------------------

Siempre es posible inyectar un conjunto H cualquiera en el conjunto de sus subconjuntos, aunque solo sea asociando a cada elemento h de H el singleton {h}. En cambio, nunca se encontrará una suprayección (ni a fortiori una biyección) de H sobre P(H). Para establecer este teorema, que intuye y enuncia, Cantor comenzará por… negarlo. Considera, pues, una hipotética aplicación f suprayectiva de H sobre P(H). Entonces tiene la intuición, aparentemente disparatada pero en verdad luminosa, de considerar el subconjunto C de H definido así:

La forma de C importa poco: a priori, podría ser el conjunto H entero, una pareja, un singleton o incluso el conjunto vacío. Sin prejuzgarlo, sabemos sin embargo, por hipótesis (puesto que C es un subconjunto de H y que se supone que f es suprayectiva), que C admite al menos una preimagen por f . Fijemos una, que denotaremos por b, y situémosla respecto de C. Hay dos posibilidades:

• O bien b pertenece a C = f (b). Entonces, por definición de C, b no pertenece a f (b), que es igual a C;

• O bien b no pertenece a C = f (b). Ahora bien, esa misma definición de C impone, simétricamente, que b pertenece a f (b) = C.

En ambas situaciones, el elemento b se ve obligado simultáneamente a pertenecer a C y a no pertenecer a C. Ante tantas contradicciones, la aplicación f no puede ser sino quimérica, lo que permite zanjar la cuestión.

Expuesto así, este esquema viene a enriquecer la variedad de razonamientos por reducción al absurdo. Completa felizmente otros casos clásicos tan fundamentales como emblemáticos, desde la irracionalidad de √2 hasta la unicidad de un límite, pasando por la infinitud de los números primos.

Por elegante que sea, la demostración de Cantor sigue siendo abstracta. Conviene acompañarla de un dibujo, en el que se habrán señalado algunos elementos (c, c’, c’’… que componen C como conjunto) y situado la preimagen b de C por f según cuál de las dos posibilidades se dé.

En rojo, los elementos que no pertenecen a su imagen por f (y que, por tanto, componen el conjunto C); en azul, los que sí pertenecen a ella (y que componen el complementario de C). Cuando la preimagen b de C está en C (a la izquierda), es a la vez rojo y azul. Cuando no está en C (a la derecha), es a la vez azul y rojo.**

Además de desembocar, por disyunción de casos, únicamente en una aberración, el razonamiento de Cantor induce un círculo vicioso.

(a izquierda y derecha) se niega a sí misma, induce un círculo vicioso.

El barbero y la peluquera --------------------------

Pero ¿qué pinta el barbero en esta historia? Aparecida un tanto de improviso en esta sopa de Cantor, la comparación —llamada, por tanto, del barbero— ofrece una regla mnemotécnica para recordar la receta. De origen controvertido, la metáfora fue retomada y después divulgada por Bertrand Russell y sus contemporáneos. El conjunto H representa aquí a los habitantes de una ciudad, pongamos Sevilla, en España. La aplicación f tiene como función asociada el verbo «afeitar». Así, envía a cada habitante h de Sevilla al grupo de sevillanos a los que afeita.

Ahora bien, se supone que f es suprayectiva. De modo que todos los miembros de cualquier grupo de individuos tienen en común (al menos) un mismo barbero (pertenezca o no al grupo, pero sí a la ciudad). En particular —es un postulado de partida, consecuencia de la suprayectividad—, se presupone que cualquier habitante debe ser afeitado, mientras que algunos habitantes podrían no afeitar a nadie —para ellos, f asociará el conjunto vacío Ø. A priori, no es incompatible que un habitante se afeite a sí mismo y que, ocasionalmente, también lo afeite otra persona.

Salvo una excepción.

En este caso, el conjunto C reunirá a todos los habitantes que no se afeitan a sí mismos o, dicho de otro modo, que son simples clientes. Llamaremos «barbero profesional» a una preimagen de C, b. La pregunta «¿Quién afeita a este barbero?» plantea entonces la antinomia:

• Si b se afeita a sí mismo (esto es, b ∈ f (b) = C), contradice su función: afeitar únicamente a quienes no se afeitan a sí mismos, es decir, a simples clientes. Por tanto, este barbero no se afeita a sí mismo;

• Si b no se afeita a sí mismo (esto es, b ∉ f (b) = C), como simple cliente, debe ser afeitado por quien o quienes tienen ese cometido: los barberos profesionales… ¡Por tanto, se afeita a sí mismo!

Hay motivos de sobra para volverse loco. Entonces, ¿cómo escapar de esta lógica implacable? ¡Reintroduciendo lo humano! Ese podría ser el valor de la inicial h. Porque ¿por qué los habitantes de H habrían de ser solo hombres, y además peludos? ¿Dónde están las mujeres? ¿Las que afeitan, se afeitan o no se afeitan? ¿Y si la moraleja de la historia dijera… que el barbero era una mujer… que Russell o sus contemporáneos eran hombres…?

Pero entonces, devolviendo la pelota… ¿quién peina a la peluquera?