En 1637, René Descartes publie le Discours de la méthode. À côté du célèbre « Je pense donc je suis » se trouve un manuscrit, La Géométrie, qui décrit une avancée majeure de cette époque en mathématiques. On y observe tout d’abord comment, en utilisant un système de coordonnées, chaque objet géométrique a un pendant algébrique. Par exemple, chaque droite peut être représentée par une équation de droite, c’est-à-dire une égalité vérifiée par les coordonnées des points de la droite et uniquement ceux-là. Chaque construction à la règle et au compas s’associe alors à une opération algébrique. Considérer, par exemple, le point d’intersection de deux droites revient algébriquement à résoudre un système de deux équations à deux inconnues. Dans un deuxième temps, il ne restera qu’à faire de la théorie des équations pour résoudre les divers problèmes géométriques qui se posent.
En ne considérant que les équations exprimées uniquement avec des additions, des soustractions et des multiplications (donc sans puissances, sinus, cosinus…), on obtient le domaine de la géométrie algébrique.
Diviser par zéro ! -------------------
Le cadre de la géométrie algébrique fonctionne très bien avec les nombres complexes. Cependant, il peine à bien apprécier des phénomènes réels, pour lesquels il est utile d’ajouter la division à nos outils. Mais la division peut être elle aussi problématique, car on risque toujours de diviser par zéro. Pour éviter cela, on divise uniquement par des quantités qui ne s’annulent jamais, comme 1 + x2.