Le mot « discrépance » est peu courant en langue française. D’origine latine (discrepantia), il peut signifier, au figuré, « désaccord » ou « discordance ». Le problème mathématique de la discrépance est ardu ; une présentation métaphorique et élémentaire peut cependant en être donnée (voir Tangente 168, 2016). Une approche ludique est également possible. Voyons comment se présente la question mathématique de la discrépance dans ce cadre.
Le poseur et le ramasseur
Le jeu qui va nous intéresser est pratiqué par deux joueurs qui, pour des raisons qui apparaîtront clairement par la suite, sont nommés le poseur et le ramasseur. Au départ, le poseur possède des billes toutes semblables, sauf qu’elles sont blanches ou vertes, en nombre illimité pour chacune des deux couleurs. Il effectue une marche en ligne droite au cours de laquelle il va déposer sur le sol une bille après chaque mètre parcouru. Toutefois, il est obligé de « bien choisir » la couleur lors de chaque dépôt, sauf le premier, qui est par convention celui d’une bille blanche.
Le ramasseur va le suivre en partant du même endroit initial puis en ramassant des billes qu’il doit placer sur l’un des deux plateaux d’une balance (les billes blanches sur le plateau de droite et les vertes sur celui de gauche). À son choix, il peut prendre les billes soit tous les mètres, soit tous les deux mètres, soit tous les trois mètres, et ainsi de suite. Au surplus, il importe que la balance reste, quel que soit le mode de ramassage, « bien réglée » en ce sens que les nombres de billes sur les deux plateaux ne peuvent différer que d’une unité au plus.
Le jeu consiste pour le poseur à déposer sur le sol le plus grand nombre de billes. En toute première analyse, on peut penser que ce jeu est facile et qu’il suffit au poseur d’alterner les billes blanches et vertes indéfiniment. Cette solution convient si le ramasseur n’effectue que des pas d’un mètre, mais elle devient caduque si les pas doublent. Il convient donc de chercher une solution plus subtile.
