Dans l’Antiquité, l’arène est l’aire de sable sur laquelle se déroulent les jeux du cirque. De même étymologie, L’Arénaire est un texte d’Archimède qui joue aussi avec du sable, mais pour en remplir l’univers entier. D’autres langues désignent cette œuvre sous le titre plus descriptif de Compteur de sable (The Sand Reckoner en anglais, El contador de arena en espagnol, Der Sandrechner en allemand…). Il s’agit de compter mais aussi de montrer comment l’univers, si vaste soit-il, est réductible à une désignation numérique explicite.
Écrit vers −250, L’Arénaire est un texte qui, en à peine quelques pages, dégage le souffle d’une tempête mathématique. Adressé au roi de Syracuse, son style a de quoi suggérer le compte-rendu d’une sorte de conférence-spectacle qui, entre les murs d’un beau palais, aurait un soir mêlé le raffinement de l’érudition à de douces rêveries sous les étoiles.
La question qui est posée est celle du nombre de grains de sable qui seraient nécessaires pour remplir l’univers. Toute la première partie est consacrée à évaluer la taille de ce dernier. D’emblée, une première surprise frappe le lecteur d’aujourd’hui : Archimède suppose que c’est la Terre qui tourne autour du Soleil, ce dernier n’étant lui-même qu’une toute petite partie de l’ensemble du cosmos. On est loin des visions traditionnelles de l’époque dans lesquelles la Terre était le centre immobile du monde. Archimède n’argumente guère ce point, si bien qu’il est difficile de savoir exactement sur quelle base il accorde foi à une théorie qui ne s’imposera pour de bon que près de deux millénaires plus tard. On peut toutefois imaginer que, en-dehors des stricts arguments astronomiques, une justification à son hypothèse est peut-être que celle-ci, empruntée explicitement à son contemporain Aristarque de Samos, est celle qui permet de concevoir l’univers le plus grand. Car Archimède souhaite en réalité moins évaluer la taille de l’univers que la majorer. Plusieurs fois dans le texte revient ainsi l’idée que telle ou telle portion de l’espace n’est « pas plus grande » qu’une sphère de telle ou telle taille.
Bien entendu, inversement, Archimède cherche à minorer la taille d’un grain de sable, car qui peut le plus peut le moins : si l’on est capable de quantifier le rapport de la taille d’un univers plus grand que le nôtre par celle d’un grain de sable plus petit que ceux que l’on rencontre dans la nature, alors il n’y a pas de doute sur la possibilité de le faire aussi pour le véritable univers (plus petit) et d’un authentique grain de sable (plus gros).
