Si on note π(x) le nombre de nombres premiers inférieurs à x et li(x) le logarithme intégral de x, c’est-à-dire ∫0xdtln(t),\int_{0}^{x}\frac{dt}{ln(t)}, le théorème des nombres premiers, prouvé indépendamment par Hadamard et La Vallée Poussin en 1896, indique que π(x) et li(x) sont équivalents quand x tend vers l’infini. Les premiers calculs semblent montrer que l’on a toujours π(x) < li(x). Mais, en 1914, l’anglais John Edensor Littlewood démontre que la différence π(x) – li(x) change de signe une infinité de fois.
En 1859, Riemann avait observé que la distribution des nombres premiers est liée au comportement de la fonction zêta donnée par ζ(s) = 1 + 1/2s + 1/3 s + 1/4s + ...
L’hypothèse de Riemann affirme que toutes les solutions intéressantes de l’équation ζ(s) = 0 sont complexes et se trouvent sur la droite d’équation Re(s) = 1/2. À ce jour, cette hypothèse, qui a donc des conséquences importantes sur les nombres premiers, n’est toujours pas démontrée et c’est l’un des sept problèmes du millénaire, récompensée pour sa résolution par un prix d’un million de dollars.
Stanley Skewes, qui était un étudiant de Littlewood, prouve en 1933, en supposant l’hypothèse de Riemann, qu’il existe une valeur x inférieure à eee79\text{e}^{\text{e}^{\text{e}^{79}}} (valeur qui est légèrement inférieure à 1010103410^{10^{10^{34}}}) telle que π(x) > li(x).
C’est cette borne qui est appelée le premier nombre de Skewes. Puis, en 1955, sans utiliser l’hypothèse de Riemann, il donne une autre borne, plus grande, appelée second nombre de Skewes. Depuis, ces valeurs qu’on peut qualifier de gigantesques, ont été réduites de manière très importante.