GéométrieNotion · Glossaire
Abaisser une perpendiculaire
Abaisser une perpendiculaire depuis un point P vers une droite d consiste à construire le segment joignant P au pied de la perpendiculaire issue de P sur d. Ce pied est le point de d le plus proche de P, obtenu en traçant la droite passant par P et perpendiculaire à d. Cette construction est fondamentale en géométrie euclidienne et permet de définir la distance d'un point à une droite. La longueur du segment ainsi obtenu est appelée la hauteur du point par rapport à la droite.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le pied d'une perpendiculaire abaissée depuis un point.
- Relier la longueur du segment perpendiculaire à la distance point-droite.
- Refaire un exemple en coordonnées et contrôler que la longueur obtenue est minimale.
- Distinguer cette construction d'une médiatrice et d'une hauteur de triangle.
En clair
Imaginez un point placé au-dessus d'une ligne droite. Pour rejoindre la ligne par le trajet le plus court, il faut partir du point et aller droit vers elle, sans pencher d'un côté. Le segment obtenu forme alors un angle droit avec la ligne.
Le point où ce segment touche la droite s'appelle le pied de la perpendiculaire. Abaisser la perpendiculaire, c'est construire ce segment et repérer ce pied.
Définition
Dans le plan euclidien, on considère un point nommé P et une droite nommée d. Abaisser de P une perpendiculaire à d revient à tracer l'unique droite passant par P et perpendiculaire à d. Son point d'intersection avec d est noté H et appelé pied de la perpendiculaire. Lorsque P n'appartient pas à d, le segment [PH] est donc perpendiculaire à d en H.
La longueur PH est la distance du point P à la droite d. Elle est minimale : pour tout point Q situé sur d, PH ≤ PQ, avec égalité seulement lorsque Q est H. Cette propriété explique pourquoi la construction fournit le point de d le plus proche de P. Dans certains contextes géométriques, PH est aussi appelée la hauteur de P par rapport à d.
Si P appartient déjà à d, le pied H se confond avec P et la distance vaut zéro. Hors de ce cas, [PH] a une longueur strictement positive et forme avec d un angle droit.
Un exemple, pas à pas
Dans un repère orthonormé, le point P a pour coordonnées (2 ; 3) et la droite d a pour équation y = 1. Une unité a la même longueur sur les deux axes. On cherche le pied H de la perpendiculaire issue de P.
Données :
• P(2 ; 3) ;
• d est la droite horizontale d'équation y = 1 ;
• le repère est orthonormé ;
• Q(5 ; 1), situé sur d, servira au contrôle.
• P(2 ; 3) ;
• d est la droite horizontale d'équation y = 1 ;
• le repère est orthonormé ;
• Q(5 ; 1), situé sur d, servira au contrôle.
1. La droite perpendiculaire à d passant par P est verticale. Elle a donc pour équation x = 2.
2. L'intersection de x = 2 et de y = 1 est le point H(2 ; 1). Ce point appartient bien à d.
3. Les points P et H ont la même abscisse. La longueur du segment vertical est unités.
4. Pour contrôler le minimum, prenons le point Q(5 ; 1) sur d. Le théorème de Pythagore donne PQ = √13, donc PQ ≈ 3,61 unités, une longueur supérieure à PH.
Le pied recherché est H(2 ; 1), et la distance de P à d vaut exactement 2 unités. La figure matérialise l'angle droit en H et le segment minimal [PH].
En pratique
Sur une feuille. On place un côté de l'équerre sur la droite d, puis on la fait glisser jusqu'à ce que l'autre côté passe par P. Ce second côté donne la perpendiculaire. Une construction au compas est préférable si l'on doit justifier le tracé sans instrument gradué.
Pour mesurer une distance. On mesure PH, et non un segment oblique reliant P à un autre point de d. Dans l'exemple P(2 ; 3) et d d'équation y = 1, la bonne longueur est 2 unités.
Dans une figure. Le petit carré d'angle droit confirme que [PH] est perpendiculaire à d. Sans ce codage ni donnée équivalente, l'apparence verticale ou horizontale du dessin ne suffit pas à conclure.
À ne pas confondre
Élever une perpendiculaire. On part alors d'un point déjà situé sur la droite. Pour abaisser une perpendiculaire, le point de départ est généralement extérieur à la droite ; son pied est à construire sur celle-ci.
Construire une médiatrice. Une médiatrice est perpendiculaire à un segment en son milieu. Une perpendiculaire abaissée depuis P doit passer par P, sans devoir couper d au milieu d'un segment donné.
Tracer une hauteur d'un triangle. C'est une application particulière : la perpendiculaire part d'un sommet et rejoint la droite qui porte le côté opposé. La construction étudiée ici ne suppose aucun triangle.
Limites et pièges
Point sur la droite. Si P appartient à d, le pied est P lui-même et PH = 0. Il n'existe alors aucun segment non nul à mesurer, même si la perpendiculaire passant par P reste traçable.
Segment à la place d'une droite. Le pied peut tomber sur la droite qui porte un segment, mais hors du segment dessiné. Pour chercher le point le plus proche du segment, il faut alors comparer avec ses extrémités.
Dessin trompeur. Deux traits qui semblent former un angle droit ne sont pas nécessairement perpendiculaires. Il faut une donnée géométrique, un codage d'angle droit ou une vérification avec un instrument adapté.
Cadre de validité. L'unicité du pied et la propriété de plus courte distance sont énoncées ici pour une droite du plan euclidien. Changer d'espace ou de notion de distance exige de vérifier de nouveau ces propriétés.
Pour aller plus loin
La projection replace le pied H dans une idée plus générale : associer à un point son image sur un autre objet géométrique.
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