Achevée (droite réelle)

Sur une droite graduée ordinaire, on peut toujours aller plus loin sans jamais atteindre une dernière graduation. La droite réelle achevée ajoute pourtant deux extrémités idéales : −∞ du côté des valeurs qui décroissent sans borne et +∞ du côté de celles qui croissent sans borne.

Ces deux symboles ne deviennent pas des nombres réels. Ils servent de valeurs limites et permettent de parler dans un même cadre des valeurs réelles et des comportements infinis.

La droite réelle achevée est l’ensemble obtenu en ajoutant aux nombres réels deux éléments distincts, moins l’infini et plus l’infini. Si la lettre R désigne l’ensemble des nombres réels, cet ensemble étendu, appelé R barre, s’écrit $\bar{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\}\backslash overline\{\backslash mathbb\{R\}\}=\backslash mathbb\{R\}\backslash cup\backslash \{-\backslash infty,+\backslash infty\backslash \}$.

Son ordre prolonge celui des réels : −∞ est placé avant tout réel et +∞ après tout réel. Sa topologie prolonge également celle de la droite réelle. Une suite de réels qui croît au-delà de toute borne peut ainsi converger vers +∞ ; une suite qui décroît au-delà de toute borne peut converger vers −∞.

Ce cadre s’applique en analyse et en théorie de la mesure, notamment aux limites et aux fonctions autorisées à prendre une valeur infinie. Il distingue impérativement les deux directions de l’infini : pour une fonction, une limite à droite peut valoir +∞ tandis que la limite à gauche vaut −∞. Dans ce cas, la limite bilatérale n’existe pas, même dans la droite réelle achevée.

La construction réunit trois sortes d’éléments : tous les réels, l’extrémité −∞ et l’extrémité +∞. L’ordre les relie en plaçant −∞ avant chaque réel et +∞ après chaque réel. Il conserve entre les réels leur ordre habituel.

La topologie précise ensuite ce que signifie « s’approcher » d’une extrémité : aller vers +∞ revient à dépasser toute borne réelle fixée, et aller vers −∞ à passer sous toute borne réelle fixée. L’ordre donne donc les deux directions, tandis que la topologie transforme ces directions en convergences possibles. Ces éléments et ces relations suffisent à situer une valeur réelle ou infinie et à formuler des limites. La longueur ou le dessin du segment utilisé pour la représenter ne définit pas l’objet mathématique.

Considérons la fonction qui associe à tout réel non nul x son inverse, noté $f(x)=\frac{1}{x}f(x)=\backslash frac\{1\}\{x\}$. Données : x vaut successivement −0,1, −0,01, 0,01 et 0,1. Ces quatre valeurs encadrent 0, sans jamais lui être égales.

1. Pour x = −0,1, on obtient f(x) = −10.
2. Pour x = −0,01, on obtient f(x) = −100.
3. Pour x = 0,01, on obtient f(x) = 100.
4. Pour x = 0,1, on obtient f(x) = 10.

Du côté négatif, les valeurs descendent sans borne ; du côté positif, elles montent sans borne. On obtient donc deux résultats distincts : ${\lim }_{x\to 0^{-}}\frac{1}{x}=-\mathrm{\infty }\backslash lim\_\{x\backslash to0^-\}\backslash frac\{1\}\{x\}=-\backslash infty$ et ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x}=+\mathrm{\infty }\backslash lim\_\{x\backslash to0^+\}\backslash frac\{1\}\{x\}=+\backslash infty$. Le contrôle consiste à remplacer x par une valeur dix fois plus proche de 0 de chaque côté : la valeur absolue de l’inverse est multipliée par dix. Puisque les deux côtés n’aboutissent pas au même élément, la limite quand x tend vers 0 sans préciser le côté n’existe pas.

En analyse, la droite réelle achevée sert à consigner qu’une fonction ou une suite tend vers une extrémité infinie lorsque ses valeurs deviennent arbitrairement grandes ou arbitrairement petites. On garde la droite réelle ordinaire lorsque la limite est finie ; on emploie +∞ ou −∞ lorsque le signe et la croissance des valeurs montrent une divergence orientée.

Pour étudier une fonction près d’un point, on compare les deux côtés si le domaine le permet. Avec l’inverse près de 0, leurs comportements opposés imposent deux limites latérales plutôt qu’une limite unique.

En théorie de la mesure, ce cadre accueille aussi des fonctions à valeurs infinies. Le geste décisif consiste à annoncer l’ensemble d’arrivée étendu ; si toutes les valeurs utiles sont réelles, l’ensemble des réels suffit.

La droite réelle achevée n’est pas le seul symbole infini. Elle est un ensemble précis comprenant tous les réels et deux extrémités distinctes. Le critère est le signe : une suite qui dépasse finalement tout réel M tend vers +∞, tandis qu’une suite qui passe finalement sous tout réel M tend vers −∞. Par exemple, la suite des entiers positifs et la suite de leurs opposés n’aboutissent pas à la même extrémité.

Deux limites latérales différentes. Pour l’inverse près de 0, les valeurs négatives tendent vers −∞ et les valeurs positives vers +∞. Le symptôme est le changement d’extrémité selon le côté. Il faut alors écrire deux limites latérales ; la limite bilatérale en 0 n’existe pas.

Une valeur infinie n’est pas un réel. Ajouter −∞ et +∞ étend l’ordre et la notion de convergence, mais ne transforme pas ces extrémités en graduations réelles ordinaires. Le symptôme est un raisonnement qui les traite comme des nombres finis. Il faut revenir à leur rôle : indiquer une direction au-delà de toute borne réelle.

Le signe ne peut pas être omis. Dire seulement qu’une quantité « va vers l’infini » masque deux comportements possibles. Si les valeurs augmentent sans borne, on écrit +∞ ; si elles diminuent sans borne, on écrit −∞. Si le comportement alterne entre les deux, aucune de ces deux limites ne convient sans analyse supplémentaire.

La notion d’infini précise ce que recouvrent les symboles employés aux deux extrémités de la droite achevée.

La Limite à gauche aide à formaliser le comportement de l’inverse lorsque x approche 0 par valeurs négatives.