bénéfice marginal
Le bénéfice marginal est le gain supplémentaire engendré par la vente d'une unité ou d'un petit nombre d'unités additionnelles. Si le bénéfice total augmente d'une somme S pour n articles supplémentaires vendus, le bénéfice marginal est le quotient S/n. Formalisé comme la dérivée du bénéfice total par rapport à la quantité, il est un concept central de la microéconomie.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer le bénéfice total du gain apporté par des ventes supplémentaires.
- Calculer un bénéfice marginal moyen de 6 € par objet sur un lot de 10 ventes.
- Relier une différence finie à la dérivée du bénéfice total sans les confondre.
- Interpréter le signe du bénéfice marginal et reconnaître les limites du critère B′(q) = 0.
- Éviter la confusion avec le bénéfice moyen et la recette marginale.
En clair
Une entreprise vend 100 objets et obtient un bénéfice total de 500 €. Après 10 ventes supplémentaires, ce total atteint 560 €. Les 10 objets ajoutés ont donc apporté 60 € de bénéfice, soit 6 € par objet.
Ce gain rapporté à la quantité ajoutée est le bénéfice marginal. Il ne décrit pas les 560 € déjà accumulés, mais ce que la petite augmentation des ventes a changé.
Définition
Le bénéfice marginal mesure la variation du bénéfice total lorsque la quantité vendue augmente. Notons B(q) le bénéfice total, exprimé en euros, obtenu pour une quantité q. Si la quantité augmente de Δq unités, la variation correspondante est ΔB = B(q + Δq) − B(q). Le bénéfice marginal moyen sur ce petit lot vaut alors : . Son unité est ici l'euro par unité vendue.
Pour une seule unité supplémentaire, Δq vaut 1 et le quotient est simplement B(q + 1) − B(q). Si la quantité est modélisée par une variable continue et si la fonction B est dérivable au point considéré, le bénéfice marginal instantané est la dérivée B′(q). Il représente la limite des quotients précédents lorsque Δq tend vers 0.
Le quotient sur plusieurs unités et la dérivée répondent donc à deux échelles différentes : le premier donne une variation moyenne réellement observée sur un lot ; la seconde décrit une variation locale dans un modèle continu. Ils sont proches pour un lot très petit seulement si B varie assez régulièrement autour de q.
Un exemple, pas à pas
Une entreprise passe de 100 à 110 objets vendus. Son bénéfice total passe de 500 € à 560 €. Les données sont donc q = 100 unités, Δq = 10 unités, B(100) = 500 € et B(110) = 560 €.
1. Calculons le gain supplémentaire : ΔB = 560 € − 500 € = 60 €.
2. Rapportons ce gain aux 10 objets ajoutés : . Le bénéfice marginal moyen du lot est donc de 6 € par objet supplémentaire.
3. Une représentation du passage de 100 à 110 ventes rend visibles les deux variations utilisées par le quotient : 10 unités horizontalement et 60 € verticalement.
4. Contrôlons le résultat : 10 objets multipliés par 6 € par objet redonnent 60 €, puis 500 € + 60 € = 560 €. Ce contrôle retrouve exactement le bénéfice total final.
En pratique
Quand les ventes sont comptées objet par objet, on compare deux bénéfices totaux consécutifs. Si B(q) désigne le bénéfice total pour q ventes, la différence B(q + 1) − B(q) est préférable à une dérivée si aucune fonction continue n'a été définie.
Pour un lot de plusieurs objets, on divise le gain total du lot par sa taille. Ce quotient est le bon choix pour décrire les données réellement observées ; il ne faut pas l'annoncer comme une valeur instantanée si le bénéfice varie à l'intérieur du lot.
Dans un modèle dérivable, le signe de la dérivée B′(q) indique le mouvement local : un signe positif accompagne une hausse du bénéfice total, un signe négatif une baisse. Si l'on doit juger une augmentation finie des ventes, le quotient entre les deux quantités reste le contrôle direct.
À ne pas confondre
Le bénéfice total est la valeur B(q) déjà obtenue pour q ventes ; le bénéfice marginal est sa variation lorsqu'on ajoute des ventes. Dans l'exemple, 560 € est un total, tandis que 6 € par objet est une valeur marginale moyenne.
Le bénéfice moyen rapporte le total à toutes les unités, soit B(q)/q. Le bénéfice marginal ne considère que l'augmentation étudiée. Dans l'exemple, 560 €/110 ≈ 5,09 € par objet, une valeur différente des 6 € marginaux.
La recette marginale mesure le supplément de recette, pas celui du bénéfice. Les deux ne se confondent que si la variation des autres éléments qui séparent recette et bénéfice est nulle sur l'augmentation considérée.
Limites et pièges
Un quotient calculé sur 10 unités est une moyenne sur ce lot. Si le bénéfice total varie de façon non linéaire, le premier objet et le dixième peuvent apporter des gains différents. Il faut réduire le pas ou calculer les différences unité par unité pour observer cette variation.
Une dérivée suppose un modèle continu et dérivable au point étudié. Si B(q) désigne le bénéfice total pour q ventes, B′(q) peut ne pas exister à un angle de sa courbe ; pour des ventes nécessairement entières, la différence B(q + 1) − B(q) reste directement interprétable.
L'égalité B′(q) = 0 ne suffit pas à prouver que le bénéfice total est maximal. Le point peut être un minimum ou un palier. Il faut étudier le changement de signe, comparer les valeurs voisines et contrôler les bornes du domaine.
Un bénéfice marginal négatif n'est pas un bénéfice total forcément négatif. Il signale seulement que l'augmentation considérée réduit le total : celui-ci peut rester positif tout en passant, par exemple, de 560 € à une valeur inférieure.
Pour aller plus loin
Si la fonction B du bénéfice total est deux fois dérivable, sa dérivée seconde précise comment évolue le bénéfice marginal. Lorsque B″ est négative sur un intervalle, B′ y décroît : chaque augmentation locale de quantité apporte alors moins de bénéfice que la précédente.
Pour passer d'un constat sur un lot à une décision, il faut conserver l'échelle du calcul. Les différences finies décrivent les quantités réellement comparées ; la dérivée permet d'étudier un modèle local, à condition que ses hypothèses soient adaptées aux quantités vendues.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres