cadran sphérique

Imaginez une boule posée au Soleil, avec un cercle peint et gradué autour d'elle. Dans l'idéalisation de rayons parallèles, la lumière partage sa surface en une moitié éclairée et une moitié sombre ; dans la réalité, une source à distance finie déforme généralement cette frontière en petit cercle et le Soleil étendu peut produire une pénombre. Dans le modèle idéal, la frontière entre les deux zones est un grand cercle d'ombre. L'heure solaire se lit au point retenu dans la zone de lecture où cette frontière rencontre le cercle gradué, si une telle intersection exploitable existe. Ce point se déplace au fil du jour et change aussi selon la date. Le cadran sphérique reprend donc le principe du cadran solaire, mais sur une surface courbe plutôt que sur un plan.

Un cadran sphérique est un cadran solaire dont la surface de lecture est une sphère. La sphère est notée S et le grand cercle gradué qui porte les repères horaires est noté C. Dans le modèle géométrique où les rayons solaires sont parallèles, la séparation entre la partie éclairée de S et la partie dans l'ombre est un grand cercle d'ombre. Pour une source à distance finie, cette frontière est généralement un petit cercle, et une source étendue peut produire une pénombre. Deux grands cercles distincts complets se coupent en deux points antipodaux ; l'heure solaire se lit donc au point de cette paire qui appartient à la zone ou à l'arc de lecture effectivement utilisé, lorsque cette sélection est possible.

La position de cette intersection dépend à la fois du jour et de l'heure. La graduation doit donc être liée à l'orientation du cadran et à la convention horaire retenue ; elle ne transforme pas automatiquement l'heure solaire en heure légale. Le support peut aussi être un corps convexe au lieu d'une sphère : cette extension conserve l'idée d'une limite entre lumière et ombre, mais la limite n'est alors pas nécessairement un grand cercle.

Considérons une sphère S éclairée par le Soleil et un grand cercle gradué C. Pour un instant donné, on observe la rencontre de la frontière d'ombre avec C.

Données : la surface de lecture est S ; le cercle gradué est C ; dans le modèle géométrique à rayons parallèles, la frontière éclairée-ombre est un grand cercle ; les deux cercles complets ont deux intersections antipodales, et le point observé est celle qui appartient à la zone de lecture.

On repère d'abord la frontière qui sépare la zone éclairée de la zone d'ombre.
On suit ensuite cette frontière jusqu'au cercle C.
On relève le repère horaire porté par C au point de rencontre.
On obtient ainsi l'heure solaire correspondant à cet instant et à ce jour.

Le contrôle consiste à vérifier que le point relevé appartient bien à C et à la frontière d'ombre, puis à identifier celui des deux points antipodaux qui se trouve dans la zone ou l'arc de lecture. À un autre moment ou un autre jour, son déplacement confirme que la lecture dépend de ces deux paramètres.

Pour lire un cadran sphérique, on cherche d'abord la ligne de séparation entre la partie éclairée et la partie sombre. On vérifie qu'elle rencontre le cercle gradué dans la zone de lecture ; s'il n'y a aucune intersection exploitable, aucune lecture n'est possible à cet instant. Si deux points antipodaux sont possibles, on sélectionne celui qui appartient à la zone de lecture, puis on lit le repère horaire rencontré.

Pour concevoir un tel cadran, le gnomoniste choisit la forme convexe et le cercle gradué, puis règle leur orientation par rapport au Soleil. Un tracé sur un plan est une alternative lorsque la fabrication ou la lecture d'une surface courbe est moins pratique.

Pour interpréter la lecture, il faut distinguer l'heure solaire de l'heure affichée par une montre. La graduation du cadran doit préciser sa convention ; la forme sphérique, à elle seule, ne fixe pas cette conversion.

Un cadran sphérique ne se confond pas avec un cadran solaire plan. Le critère testable est la surface qui porte la lecture : elle est courbe et sphérique dans le premier cas, plane dans le second. Une plaque plane effectivement conçue et graduée pour une lecture solaire, avec un dispositif d'ombre approprié, constitue un cadran solaire plan.

Le point de lecture n'est pas garanti dans toutes les configurations. Deux grands cercles distincts complets se rencontrent toujours en deux points antipodaux ; la lecture peut toutefois être unique si un seul de ces points appartient à la zone effectivement utilisée. Si aucun des deux points n'y appartient, aucune heure ne peut être lue à cet instant ; il faut attendre que la géométrie change ou employer une autre graduation. Si les deux cercles se confondent, la rencontre est au contraire infinie et le repère ne fournit pas une lecture déterminée.

Dans le modèle géométrique à rayons parallèles, la propriété de « grand cercle d'ombre » appartient à la sphère éclairée. Avec une source à distance finie ou étendue, la frontière dépend de la géométrie de la source et peut être un petit cercle ou une pénombre. Dans l'extension à un corps convexe, elle peut avoir une autre forme ; il faut alors recalculer ou tracer cette frontière au lieu de lui attribuer automatiquement la géométrie d'un cercle.

Pour prolonger l'étude, on peut comparer plusieurs corps convexes et observer comment leur courbure transforme la frontière entre lumière et ombre. La question devient alors celle d'une lecture solaire sur une forme libre : le support change, mais l'information reste portée par la rencontre entre une limite d'ombre et une graduation.