GéométrieObjet géométrique · Glossaire
cercle de Kenmotu
Dans un triangle ABC, trois carrés congruents partagent un sommet O. Les six sommets adjacents à O qui se trouvent sur les côtés du triangle sont cocycliques : le cercle qui les contient est le cercle de Kenmotu. O est le point de Kenmotu.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le point commun aux trois carrés.
- Repérer les six points de contact avec les côtés du triangle.
- Distinguer le cercle de Kenmotu du cercle circonscrit au triangle.
- Contrôler les conditions nécessaires à la cocyclicité.
En clair
Imaginez un triangle et trois carrés identiques qui se touchent tous au même sommet O. Pour chaque carré, les deux sommets adjacents à O rencontrent deux côtés différents du triangle ; les trois carrés correspondent respectivement aux paires AB-BC, BC-CA et CA-AB. On obtient ainsi six points de contact, deux sur chacun des trois côtés.
Le résultat remarquable est que ces six points peuvent être entourés par un seul cercle. Le point commun aux carrés est le point de Kenmotu ; le cercle qui passe par les six points de contact est le cercle de Kenmotu.
Définition
Dans un triangle ABC, on construit trois carrés congruents. Ils possèdent un sommet commun, noté O, et ce sommet est appelé point de Kenmotu. Pour chaque carré, les deux sommets adjacents à O qui interviennent dans la configuration se trouvent sur deux côtés différents du triangle ; les trois carrés rencontrent respectivement les paires de côtés AB-BC, BC-CA et CA-AB.
Chaque carré fournit donc deux points de contact avec les côtés du triangle. Les six points obtenus sont dits cocycliques lorsqu'il existe un même cercle qui passe par chacun d'eux. Ce cercle est le cercle de Kenmotu. La cocyclicité est la propriété centrale : elle porte sur les six points de contact, et non sur les sommets du triangle ni sur le point O.
La construction dépend de la dimension commune des carrés et de leur position par rapport aux côtés. Le nom renvoie à Shoto Kenmotu (1790-1871), mathématicien japonais auquel la source attribue l'étude de ces configurations.
De quoi c'est fait
Pour lire la disposition spatiale, partez des côtés du triangle ABC : ce sont les supports des points de contact. Le sommet partagé O permet ensuite de retrouver le point de Kenmotu. Le visuel et l'exemple-guide montrent comment associer chaque contact au carré qui le fournit.
Les trois carrés ont une même dimension. Pour chacun, les deux sommets adjacents à O appartiennent à deux côtés différents du triangle ; ces sommets constituent les six points retenus. Les trois carrés rencontrent respectivement les paires de côtés AB-BC, BC-CA et CA-AB. La position d'un carré dépend donc à la fois de O, de sa dimension et de la paire de côtés qu'il rencontre.
La figure recherchée est ensuite déterminée par les six points de contact : le cercle de Kenmotu est le cercle qui les contient. La couleur, l'orientation du dessin et l'échelle de représentation ne définissent pas la structure.
Un exemple, pas à pas
Prenons un triangle ABC et une configuration de trois carrés égaux partageant le sommet O. Le but est de repérer le cercle associé, sans confondre les points de contact avec les sommets du triangle.
Données de la configuration : le triangle ABC ; le sommet commun O ; trois carrés de même dimension ; deux points de contact fournis par chaque carré.
1. Pour le premier carré, repérez les deux sommets distincts de O qui se trouvent sur deux côtés différents du triangle.
2. Répétez ce repérage pour le deuxième puis pour le troisième carré.
3. Nommez les six points ainsi obtenus, par exemple P₁ et P₂, puis Q₁ et Q₂, enfin R₁ et R₂.
4. Choisissez trois de ces contacts qui ne sont pas alignés et construisez le cercle qui passe par eux.
5. Contrôlez ensuite que les trois contacts restants appartiennent à ce même cercle : le contrôle porte bien sur les six points, et ce cercle est alors le cercle de Kenmotu de la configuration.
2. Répétez ce repérage pour le deuxième puis pour le troisième carré.
3. Nommez les six points ainsi obtenus, par exemple P₁ et P₂, puis Q₁ et Q₂, enfin R₁ et R₂.
4. Choisissez trois de ces contacts qui ne sont pas alignés et construisez le cercle qui passe par eux.
5. Contrôlez ensuite que les trois contacts restants appartiennent à ce même cercle : le contrôle porte bien sur les six points, et ce cercle est alors le cercle de Kenmotu de la configuration.
Le contrôle porte sur six points, et non sur trois points choisis parmi eux. Si un point ne se place pas sur le cercle commun, la configuration a été mal repérée ou ne respecte pas les conditions de départ.
En pratique
Pour lire une figure, commencez par le sommet commun aux trois carrés. Il permet d'identifier le point de Kenmotu avant de chercher le cercle.
Pour construire le cercle, repérez ensuite les deux contacts de chaque carré avec les côtés du triangle. Le critère observable est simple : les six points retenus doivent appartenir à un même cercle.
Un dessin précis ou un logiciel de géométrie dynamique peut aider à vérifier la cocyclicité. La vérification visuelle prépare le raisonnement, mais elle ne remplace pas une démonstration lorsque celle-ci est demandée.
À ne pas confondre
Le cercle de Kenmotu ne désigne pas le cercle circonscrit au triangle ABC. Le cercle circonscrit passe par A, B et C ; le cercle de Kenmotu passe par les six points fournis par les carrés. Une figure tranche l'opposition en regardant quels points servent de support au cercle.
Le point de Kenmotu n'est pas le cercle de Kenmotu. Le premier est le sommet partagé par les trois carrés ; le second est le cercle passant par les six points de contact.
Limites et pièges
La propriété des six points ne s'applique qu'à la configuration décrite : un triangle, trois carrés de même dimension, un sommet commun et deux sommets de chaque carré placés sur deux côtés différents. Si les carrés n'ont pas la même dimension, le cercle annoncé par le théorème de la fiche n'est pas garanti.
Un cas limite apparaît si des points de contact se confondent, si un carré est mal orienté ou si un côté du triangle n'est pas rencontré comme prévu. Le symptôme est alors l'impossibilité de distinguer six points répondant aux conditions ; il faut revenir à la construction avant de conclure à une absence de cercle.
Enfin, trois points non alignés déterminent déjà un cercle, mais ce fait ne suffit pas ici. Le piège consiste à vérifier seulement trois contacts ; la propriété recherchée exige le même cercle pour les six points.
Pour aller plus loin
La configuration peut se lire comme un problème de géométrie du triangle : plusieurs objets construits sur ses côtés produisent une contrainte globale de cocyclicité. Cette façon de chercher un cercle à partir de points liés par une construction est un bon prolongement vers les problèmes de géométrie plane.
Pour comparer avec une autre configuration de triangle et de points remarquables, consultez Le « miracle » de Morley. Vous y trouverez une autre construction où une propriété remarquable apparaît après avoir organisé les éléments du triangle.
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