compas de proportion

Imaginez deux règles articulées que l'on ouvre comme un compas. Sur leurs faces, des graduations se font face. En écartant plus ou moins les branches, on transforme une longueur donnée en une autre sans poser l'opération sur le papier.

Chaque paire de lignes répond à une question précise : partager une longueur, changer l'aire d'une figure, construire un polygone régulier ou relier la taille d'une sphère à sa matière et à sa masse.

Le compas de proportion est un instrument articulé à deux branches. Des échelles homologues sont gravées sur les deux branches, à partir de l'articulation. Quand l'instrument est ouvert, les distances transversales entre deux graduations de même rang reproduisent les rapports encodés par l'échelle choisie. Une autre paire de pointes sert à prendre et à reporter ces distances.

La ligne des parties égales encode des rapports de longueurs et sert notamment à partager un segment. La ligne des plans encode des rapports adaptés aux aires : doubler une aire demande un rapport de longueurs égal à la racine carrée de 2, et non un doublement des longueurs. La ligne des polygones fournit les ouvertures utiles à la construction de polygones réguliers, dont le pentagone. La ligne des métaux met en relation le diamètre d'une sphère, la matière indiquée par la graduation et sa masse.

Inventé au début du XVIIe siècle et employé jusqu'au milieu du XIXe siècle, l'instrument est généralement attribué à Galilée. Sa forme ressemble à celle d'un compas ordinaire, mais ce sont ses séries de graduations fonctionnelles qui en font un instrument de calcul.

Dans une collection d'instruments scientifiques, le compas de proportion se reconnaît d'abord à ses deux branches plates reliées par une articulation. Plusieurs lignes graduées sont disposées par paires symétriques sur les branches. Leurs nombres s'éloignent du pivot, et des inscriptions distinguent les parties égales, les plans, les polygones ou les métaux. L'objet peut être ouvert selon différents angles.

Ces marques ne donnent donc pas une longueur unique comme celles d'une règle. Elles portent des rapports que l'ouverture de l'instrument transforme en distances mesurables entre deux points homologues.

La grandeur lue est une distance transversale entre deux graduations homologues, une sur chaque branche. La lecture se fait toujours sur une seule famille de lignes et avec la même ouverture.

1. Choisissez la ligne qui correspond au problème : parties égales, plans, polygones ou métaux.
2. Repérez sur les deux branches les deux marques portant la même valeur.
3. Réglez l'ouverture afin que la distance entre une paire de marques corresponde à la longueur de départ.
4. Prenez la distance entre la seconde paire de marques, puis reportez-la sur le tracé ou comparez-la à la mesure cherchée.

L'œil peut confondre le nombre gravé avec une mesure en centimètres. Ce nombre code un rang ou un rapport propre à la ligne ; seule la distance prise transversalement a la dimension d'une longueur. Il faut aussi éviter de mesurer le long d'une branche.

On veut partager un segment de 10 cm en cinq parties égales. Les données sont la longueur totale, 10 cm, le nombre de parts, 5, et la ligne des parties égales. Notons D(n) la distance transversale entre les deux marques n lorsque l'ouverture reste fixe.

1. Ouvrez l'instrument jusqu'à ce que la distance entre les deux marques 5 vaille 10 cm.
2. Sans modifier cette ouverture, prenez la distance entre les deux marques 1.
3. Le rapport des graduations donne $D(1)=\frac{D(5)}{5}=2\mathrm{c}\mathrm{m}D(1)=\backslash frac\{D(5)\}\{5\}=2\backslash ,\backslash mathrm\{cm\}$.
4. Reportez cette ouverture de 2 cm cinq fois à partir d'une extrémité du segment.

Les cinq intervalles obtenus mesurent chacun 2 cm. Le contrôle consiste à additionner leurs longueurs : 5 × 2 cm = 10 cm, exactement la longueur de départ.

Pour partager une longueur en un nombre donné de parts, on choisit la ligne des parties égales et on reporte la distance obtenue. Une règle graduée est plus directe lorsque la division tombe exactement sur ses graduations.

Pour agrandir une figure selon une aire imposée, on utilise la ligne des plans. Un calcul numérique est préférable si l'on exige une précision supérieure à celle des traits gravés.

Pour construire un polygone régulier, notamment un pentagone, on prend l'ouverture indiquée par la ligne des polygones. Le rapporteur devient l'alternative naturelle quand le travail est formulé en angles.

Pour estimer la masse d'un objet sphérique à partir de son diamètre et de sa matière, on consulte la ligne des métaux. Une balance doit être préférée dès que l'objet réel peut être pesé.

Le compas ordinaire. Ses deux pointes servent à tracer un cercle ou à reporter une longueur fixée. Si les branches ne portent pas plusieurs échelles fonctionnelles appariées, l'objet ne réalise pas les calculs de proportion décrits ici.

Le cas qui tranche est le partage du segment de 10 cm en cinq parts : le compas ordinaire peut reporter les 2 cm une fois cette longueur connue, tandis que le compas de proportion fournit lui-même cette ouverture par ses marques 5 et 1.

Une ligne n'en remplace pas une autre. Employer la ligne des parties égales pour doubler l'aire d'une figure doublerait ses longueurs et multiplierait son aire par 4. Il faut utiliser la ligne des plans, qui tient compte du rapport quadratique entre longueur et aire.

Une ouverture extrême dégrade la lecture. Près du pivot, deux marques transversales deviennent très proches ; une petite erreur de placement pèse alors davantage dans le résultat. Il faut choisir une ouverture confortable et confronter le report à la précision des graduations.

La ligne des métaux suppose le modèle gravé. L'estimation n'est pertinente que pour un objet sphérique et pour la matière correspondant à l'échelle. Un objet creux, composite ou non sphérique doit être pesé ou traité par un autre modèle.

La graduation n'abolit pas l'incertitude. Dans l'exemple idéal, cinq intervalles de 2 cm totalisent exactement 10 cm. Sur un instrument réel, l'épaisseur des traits, le jeu du pivot et le report des pointes imposent d'interpréter l'accord à la précision de l'instrument.

pentagone régulier — Examiner la figure particulière que la ligne des polygones aide à construire.

Les polygones réguliers — Situer le pentagone parmi les constructions partageant des côtés et des angles égaux.