Histoire et cultureNotion · Glossaire
coupure de Dedekind
Une coupure de Dedekind est une partition des nombres rationnels en deux parties non vides, une partie inférieure et une partie supérieure, telle que tout rationnel de la première soit strictement inférieur à tout rationnel de la seconde et que la partie inférieure n’ait pas de plus grand élément. La frontière ainsi définie représente un unique nombre réel, même lorsqu’aucun rationnel ne l’atteint. L’ensemble de ces coupures construit les réels et exprime leur complétude.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les conditions qui transforment une partition de ℚ en coupure de Dedekind.
- Suivre la construction de la coupure représentant √2 avec des contrôles rationnels exacts.
- Distinguer le cas rationnel du cas irrationnel grâce au minimum éventuel de A₂.
- Relier les coupures à la complétude de la droite réelle.
En clair
Imaginez que l'on range tous les nombres rationnels sur une droite, puis que l'on place chacun dans l'un de deux ensembles. Ceux de gauche sont tous plus petits que ceux de droite. L'ensemble de gauche ne possède toutefois pas de dernier nombre : aussi près que l'on s'approche de la séparation, un autre rationnel peut encore s'intercaler.
Cette séparation, appelée coupure de Dedekind, matérialise un emplacement précis sur la droite. Elle peut correspondre à un rationnel déjà connu ou à un irrationnel, comme le nombre noté √2.
Définition
Une coupure de Dedekind est un couple de sous-ensembles de l'ensemble ℚ des rationnels. On note A1 la partie inférieure et A2 la partie supérieure. Ces deux parties sont non vides, disjointes et leur réunion est ℚ : elles forment une partition. Tout rationnel de A1 est strictement inférieur à tout rationnel de A2. Enfin, A1 n'a pas de plus grand élément.
En désignant par a un élément de A1 et par b un élément de A2, la relation d'ordre exigée s'écrit . L'absence de plus grand élément signifie qu'après tout a de A1, il existe encore un rationnel a′ de A1 tel que a soit strictement inférieur à a′.
Chaque coupure représente un unique nombre réel. Si A2 possède un plus petit élément, cet élément est rationnel et donne la valeur représentée. Si A2 n'a pas de minimum, la coupure représente un irrationnel. L'ensemble de toutes ces coupures fournit ainsi une construction de ℝ à partir de ℚ et assure sa propriété de complétude.
Un exemple, pas à pas
Construisons la coupure qui représentera le nombre positif noté √2. Les données rationnelles de contrôle sont 1, 7/5 et 3/2. Leurs carrés valent respectivement 1, 49/25 et 9/4.
1. Plaçons dans A1 tout rationnel négatif ou nul, ainsi que tout rationnel positif dont le carré est inférieur à 2. Plaçons tous les autres rationnels dans A2.
2. Le rationnel 1 appartient à A1, car 12 = 1 et 1 < 2.
3. Le rationnel 7/5 appartient aussi à A1, car (7/5)2 = 49/25 = 1,96 et 1,96 < 2.
4. Le rationnel 3/2 appartient à A2, car (3/2)2 = 9/4 = 2,25 et 2,25 > 2.
La séparation se situe donc entre 7/5 et 3/2. Aucun rationnel positif n'a pour carré exactement 2 : A2 n'a pas de minimum. La coupure représente ainsi l'irrationnel √2. Le contrôle 1,4 < √2 < 1,5 est cohérent avec 1,96 < 2 < 2,25.
En pratique
Pour construire les réels à partir des rationnels, on traite chaque coupure comme un nombre. Ce cadre devient pertinent quand ℚ laisse un emplacement sans valeur rationnelle, comme celui associé à √2.
Pour encadrer une valeur, on teste des rationnels et on les classe selon le critère de la coupure. Dans l'exemple de √2, comparer leurs carrés à 2 donne immédiatement une borne inférieure ou supérieure.
Pour un calcul numérique à précision fixée, un simple intervalle rationnel est plus pratique que l'ensemble complet de la coupure. La coupure reste préférable lorsqu'il faut justifier l'existence exacte du réel et la complétude de ℝ.
À ne pas confondre
Une partition quelconque de ℚ. Deux ensembles peuvent couvrir ℚ sans former une coupure. Le test décisif est l'ordre : chaque élément de la partie inférieure doit être plus petit que chaque élément de la partie supérieure. Par exemple, A1 = ℚ ∖ {0} et A2 = {0} forment une partition de ℚ, mais 1 appartient à A1 sans être inférieur à 0, qui appartient à A2.
Un encadrement rationnel. L'intervalle 7/5 < √2 < 3/2 ne donne que deux bornes. Une coupure classe au contraire chaque rationnel dans A1 ou A2 et détermine ainsi un réel unique.
Limites et pièges
Oublier l'absence de maximum dans A1. Si la partie inférieure contient un dernier rationnel r, déplacer r dans A2 conserve la même frontière mais change le couple. Exiger que A1 n'ait pas de plus grand élément fixe cette ambiguïté.
Utiliser seulement le test q2 < 2. Pour un rationnel négatif q, ce test peut échouer alors que q doit appartenir à la partie inférieure de la coupure de √2. Il faut inclure séparément tous les rationnels négatifs ou nuls.
Croire que A2 n'a jamais de minimum. C'est vrai pour la coupure de √2, mais faux pour une coupure représentant un rationnel. Le symptôme décisif est l'existence d'un plus petit élément dans A2 : s'il existe, il est précisément le rationnel représenté.
Pour aller plus loin
Une fois ℝ construit comme ensemble de coupures, l'étape suivante consiste à définir l'ordre et les opérations directement sur ces coupures. On peut alors examiner en détail pourquoi toute séparation compatible avec l'ordre détermine un réel, propriété qui formalise la complétude de la droite réelle.
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