Du Bois-Reymond (exemple de)

Paul du Bois-Reymond (1831-1889), mathématicien allemand, a mis en évidence un phénomène surprenant. Une fonction peut tracer une courbe continue, sans saut, tandis que sa série de Fourier ne se stabilise pas en certains points. La continuité de la fonction ne suffit donc pas à garantir ce type de convergence.

Son nom est aussi attaché à un lemme du calcul des variations. L'idée est de sonder une fonction continue avec toutes les fonctions test possibles. Si chaque produit donne une intégrale nulle, aucune valeur non nulle ne peut rester cachée.

L'exemple de du Bois-Reymond désigne le résultat selon lequel une fonction continue peut avoir une série de Fourier divergente en certains points. Il sépare deux propriétés : la régularité visible de la fonction et la convergence de la représentation obtenue par sa série de Fourier. Le résultat ne dit ni que toute fonction continue présente cette divergence, ni que la divergence se produit en tout point.

Le nom de du Bois-Reymond renvoie aussi à une théorie des ordres de grandeur et des échelles de comparaison entre fonctions. Ces travaux annoncent les notations asymptotiques modernes, qui servent à comparer le comportement de fonctions selon une même échelle.

Dans le calcul des variations, son lemme porte sur une fonction continue, notée g, définie sur un intervalle. Si l'intégrale du produit de g par chaque fonction test admissible, notée η, est nulle, alors g est identiquement nulle sur cet intervalle. La condition concerne toutes les fonctions test du cadre choisi, et non une seule. Le symbole x désigne un point de l'intervalle. Sous une forme usuelle où les fonctions test s'annulent aux extrémités a et b, l'énoncé s'écrit :

On vérifie le mécanisme du lemme sur l'intervalle [0, 1], dont un point est repéré par la variable x. Les données sont les suivantes :
• la fonction continue candidate est g, constante et égale à 1 ;
• la fonction test η vaut 6x(1 − x) ;
• η s'annule aux deux extrémités de l'intervalle.

1. Multiplier les deux fonctions. Comme g vaut 1, le produit gη reste égal à 6x(1 − x).

2. Intégrer ce produit entre 0 et 1. Une primitive de 6x − 6x² est 3x² − 2x³.

3. Comparer le résultat à l'hypothèse du lemme. L'intégrale vaut 1, et non 0. La fonction constante g ne satisfait donc pas la condition imposée pour toutes les fonctions test.

4. Contrôler le signe sans refaire le calcul. Sur l'intérieur de [0, 1], les fonctions g et η sont positives ; leur produit a donc une aire strictement positive. Le résultat 1 est cohérent.

Ce test n'établit pas à lui seul le lemme, mais il montre pourquoi l'exigence « pour toute fonction test » détecte une fonction qui n'est pas nulle.

En calcul des variations, le lemme transforme une famille d'égalités intégrales en une conclusion ponctuelle : la fonction continue concernée est nulle. Si l'on ne dispose que d'un seul test, il faut conserver l'égalité intégrale et chercher un autre argument.

Pour une série de Fourier, l'exemple de du Bois-Reymond invite à examiner la convergence elle-même. Une courbe continue ne constitue pas, à elle seule, un certificat de convergence en chaque point ; il faut étudier les sommes de la série.

Pour comparer la croissance de fonctions, les échelles d'ordres de grandeur deviennent pertinentes lorsque le comportement asymptotique importe davantage que les valeurs sur un intervalle borné. Pour des valeurs précises, une comparaison directe reste préférable.

Continuité d'une fonction et convergence de sa série de Fourier. La première exclut les sauts de la fonction ; la seconde demande que les sommes de Fourier se stabilisent. L'exemple de du Bois-Reymond montre qu'une fonction continue peut échouer au second critère en certains points.

Exemple de divergence et lemme de du Bois-Reymond. Le premier concerne les séries de Fourier. Le second concerne des intégrales contre toutes les fonctions test en calcul des variations. Le calcul sur [0, 1] relève du lemme, pas de l'exemple de Fourier.

Ordre de grandeur et égalité exacte. Une échelle de comparaison décrit le comportement relatif de fonctions ; elle n'affirme pas que leurs valeurs sont identiques. Une égalité point par point exige donc un contrôle distinct.

Tester une seule fonction ne suffit pas. Dans l'exemple sur [0, 1], g = 1 est une donnée préalable ; le test positif montre seulement que cette fonction ne satisfait pas la condition d'intégrale nulle. Une intégrale nulle obtenue avec un seul autre test ne permettrait pourtant pas de conclure ; l'hypothèse porte sur toutes les fonctions test admissibles.

La continuité appartient aux hypothèses du lemme. La conclusion point par point donnée par la source concerne une fonction continue. Si cette régularité manque, il faut vérifier l'énoncé adapté au cadre choisi au lieu d'appliquer automatiquement cette formulation.

La divergence n'est annoncée qu'en certains points. L'exemple de Fourier n'autorise pas à conclure que la série diverge partout, ni que toutes les fonctions continues ont ce comportement. Il établit une possibilité, donc un contre-exemple à une garantie générale.

Les trois apports ne forment pas un seul théorème. Série de Fourier divergente, ordres de grandeur et lemme variationnel répondent à des questions différentes. Il faut identifier le contexte avant d'employer le nom de du Bois-Reymond.

Trois pistes prolongent cette notice : étudier les conditions qui assurent réellement la convergence d'une série de Fourier, formaliser les échelles de comparaison entre fonctions et préciser les espaces de fonctions test employés en calcul des variations. Elles correspondent aux trois apports distincts associés à du Bois-Reymond.