Extension de type fini

Partons du corps des nombres rationnels. On peut lui adjoindre un nombre, comme √2, ou une quantité variable, notée t, puis effectuer avec eux les quatre opérations usuelles dès que la division est possible. Si une liste finie d'éléments suffit ainsi à obtenir tout le corps agrandi, l'extension est dite de type fini.

La liste doit être finie, mais le corps obtenu contient généralement une infinité d'éléments. Dans ℚ(t, √2), deux générateurs suffisent : t et √2.

Soit K un corps, appelé corps de base, et soit L un corps qui contient K. L'extension L/K est de type fini lorsqu'il existe dans L un nombre fini de générateurs, notés a₁, …, a_n, tels que L soit le plus petit corps contenant à la fois K et tous ces générateurs. Cette condition s'écrit :

Les générateurs ne sont pas nécessairement algébriques sur K : certains peuvent être transcendants. En revanche, si chacun des générateurs satisfait une équation polynomiale non nulle à coefficients dans K, alors chacun est algébrique sur K. Dans ce cas, l'extension est algébrique et de type fini, donc sa dimension comme espace vectoriel sur K est finie. C'est alors une extension finie. Les corps de fonctions rationnelles des variétés algébriques fournissent naturellement des extensions de type fini du corps de base.

Prenons le corps de base ℚ, le nombre √2 et un élément t choisi transcendant sur ℚ. Posons L = ℚ(t, √2). La chaîne des corps construits rend visibles les deux adjonctions :

1. On adjoint d'abord t à ℚ. Le corps ℚ(t) contient les fractions rationnelles en t à coefficients rationnels.

2. On adjoint ensuite √2. Il est algébrique sur ℚ(t), car il vérifie l'équation X² − 2 = 0.

3. La liste (t, √2) contient deux éléments et engendre L sur ℚ. L/ℚ est donc de type fini.

4. Pourtant, L/ℚ n'est pas algébrique, puisque t est transcendant sur ℚ. Elle n'est donc pas une extension finie. Le contrôle est immédiat : la génération est bien assurée par une liste finie, mais tous ses générateurs ne sont pas algébriques.

Pour décrire un corps construit, on cherche une liste finie de générateurs et l'on écrit le corps sous la forme K(a₁, …, a_n). Si aucune liste finie ne convient, il faut conserver une famille infinie de générateurs.

Pour décider si l'extension est finie, la génération finie ne suffit pas. On vérifie aussi que chaque générateur est algébrique sur le corps de base. La présence d'un générateur transcendant, comme t dans ℚ(t, √2), écarte cette conclusion.

En géométrie algébrique, le corps des fonctions rationnelles d'une variété se traite comme une extension de type fini du corps de base. Cette formulation relie les fonctions rationnelles à un nombre fini de générateurs.

Extension finie. Elle a une dimension finie comme espace vectoriel sur le corps de base. Une extension engendrée par un nombre fini d'éléments n'a pas forcément cette propriété : ℚ(t, √2)/ℚ est de type fini, mais elle n'est pas finie puisque t est transcendant.

Extension algébrique. Tous ses éléments sont algébriques sur le corps de base, sans que leur ensemble doive être engendré par une liste finie. Pour une extension de type fini, vérifier que les générateurs sont algébriques suffit au contraire à conclure qu'elle est finie.

Une liste finie ne donne pas un corps fini. Le mot « fini » porte sur le nombre de générateurs, non sur le nombre d'éléments du corps. Il faut donc identifier ce qui est compté avant de conclure.

Un générateur transcendant change le verdict. Dans ℚ(t, √2)/ℚ, deux générateurs suffisent, mais t ne satisfait aucune équation polynomiale non nulle à coefficients rationnels. Il faut alors dire « de type fini », et non « extension finie ».

La liste de générateurs n'est pas canonique. Une même extension peut admettre plusieurs listes finies, avec des tailles différentes. Pour établir qu'elle est de type fini, une seule liste finie valable suffit ; il n'est pas nécessaire de prouver qu'elle est minimale.

Le prolongement naturel consiste à séparer, parmi les générateurs, une partie transcendante et une partie algébrique. Cette organisation mène au degré de transcendance, qui mesure le nombre de paramètres algébriquement indépendants nécessaires avant les adjonctions algébriques. Dans l'exemple ℚ(t, √2)/ℚ, t fournit la direction transcendante tandis que √2 constitue une adjonction algébrique.