AnalyseNotion · Glossaire
Famille sommable
Une famille de réels positifs indexée par un ensemble I quelconque est sommable si la borne supérieure des sommes finies est finie. Sa somme est alors cette borne supérieure. Pour les familles à valeurs réelles ou complexes non nécessairement positives, la sommabilité signifie que la famille des valeurs absolues est sommable. Cette notion généralise les séries aux familles indexées par des ensembles non ordonnés et est liée à la convergence absolue.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir la somme d’une famille positive par la borne supérieure de ses sommes finies.
- Étendre le critère aux valeurs réelles signées et complexes grâce aux modules.
- Vérifier sur un exemple géométrique que la borne supérieure vaut 1.
- Distinguer sommabilité, convergence ordonnée et simple bornitude des termes.
En clair
Imaginez des poids positifs répartis dans des boîtes portant chacune une étiquette, sans ordre imposé. On peut choisir n’importe quel nombre fini de boîtes et additionner leurs poids. Si toutes ces sommes restent sous un même plafond fini, la famille est sommable.
Sa somme est le plus petit plafond possible. Avec des nombres positifs et négatifs, ou complexes, les compensations trompeuses sont écartées : on additionne d’abord leurs valeurs absolues.
Définition
Soit un ensemble d’indices I et, pour chaque indice i, un réel positif ai. Pour toute partie finie F de I, on forme la somme des termes dont l’indice appartient à F. La famille est sommable lorsque l’ensemble de ces sommes finies possède une borne supérieure finie.
En notant ℱ(I) l’ensemble des parties finies de I, la définition et la somme s’écrivent :
L’ensemble I peut être non ordonné et même non dénombrable. La définition ne dépend donc pas d’un choix préalable d’énumération.
Si les termes sont réels de signes quelconques ou complexes, la famille est dite sommable lorsque la famille des modules |ai| vérifie ce critère positif. Pour une suite, cela retrouve la convergence absolue d’une série.
Un exemple, pas à pas
Prenons l’ensemble d’indices ℕ commençant à 0. Au rang entier n, le terme vaut . Les termes sont positifs, et la partie finie Fn contient les indices de 0 à n. Les poids successifs se réduisent de moitié tandis que leurs sommes finies se rapprochent de 1.
1. Additionnons les termes dont l’indice appartient à Fn :
2. Chaque somme obtenue est strictement inférieure à 1. Toute autre partie finie non vide possède un plus grand indice ; sa somme est donc au plus égale à l’une de ces sommes consécutives. La partie vide a pour somme 0.
3. Pour tout écart positif choisi, un entier n assez grand rend plus petit que cet écart. Les sommes finies peuvent ainsi s’approcher de 1 autant que voulu.
La borne supérieure vaut donc 1 : la famille est sommable et sa somme est exactement 1. Le contrôle consiste à constater que 1 majore toutes les sommes finies, puis qu’aucun nombre inférieur à 1 ne les majore toutes.
En pratique
Pour additionner des contributions positives repérées par des étiquettes plutôt que par un ordre, on examine toutes les sous-familles finies. Une série ordinaire convient mieux lorsque l’ordre des rangs fait partie du problème.
Pour une série de nombres signés ou complexes, on teste la famille des valeurs absolues. Si ce test réussit, la somme ne repose pas sur des compensations entre termes positifs et négatifs ; sinon, il faut conserver et étudier l’ordre de la série.
Dans les calculs liés à l’intégrale de Lebesgue ou au théorème de Fubini, la sommabilité sert à contrôler une collection de contributions avant de les regrouper. Le critère à vérifier reste la finitude de la somme des modules.
À ne pas confondre
Famille sommable et série convergente. Une série est attachée à un ordre de lecture. Une famille sommable est définie par toutes ses sous-familles finies, sans ordre. La série harmonique alternée converge dans son ordre usuel, mais la famille de ses termes n’est pas sommable, car la série des valeurs absolues diverge.
Famille sommable et famille bornée. Borner séparément chaque terme ne borne pas leurs sommes finies. La famille constante de terme 1 est bornée, mais choisir n indices distincts donne une somme égale à n : elle n’est pas sommable sur un ensemble infini.
Limites et pièges
Des termes égaux à 1 sur un ensemble infini. Les sommes finies peuvent alors être aussi grandes que le nombre d’indices choisis. Aucun plafond fini n’existe : la famille n’est pas sommable.
Un ensemble d’indices non dénombrable. Il est autorisé, mais une famille positive sommable n’y possède qu’un nombre au plus dénombrable de termes non nuls. Pour chaque seuil positif, seuls un nombre fini de termes peuvent atteindre ce seuil ; les seuils 1, 1/2, 1/3, … couvrent alors tous les termes non nuls.
Des compensations entre signes. Une apparente stabilisation obtenue en associant des termes positifs et négatifs ne suffit pas. Pour des valeurs réelles ou complexes, il faut recommencer le test avec les modules ; une somme infinie des modules exclut la sommabilité.
Une borne supérieure non atteinte. Dans l’exemple des puissances de 1/2, aucune sous-famille finie n’a pour somme 1. Il faut chercher le plus petit majorant de toutes les sommes finies, et non la plus grande somme finie.
Pour aller plus loin
convergence absolue — Elle précise le critère qui transforme une série ordonnée en famille sommable.
théorème de Fubini — Il montre sous quelles hypothèses des sommations ou intégrations successives peuvent être permutées.
intégrale de Lebesgue — Elle replace la sommation de contributions positives dans le cadre plus général de l’intégration.
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