fonction d'erreur

Imaginez une courbe qui part près de −1, passe exactement par 0, puis se rapproche de 1. La fonction d’erreur, notée erf, associe à chaque nombre réel une position sur cette transition. Deux entrées opposées donnent deux résultats opposés.

Cette transition apparaît notamment derrière la loi normale. La fonction complémentaire erfc mesure ce qui reste jusqu’à 1 : si erf vaut 0,84 environ, erfc vaut 0,16 environ.

La fonction d’erreur, notée erf et aussi appelée fonction d’erreur de Gauss, est définie pour tout nombre complexe z. La lettre grecque ζ désigne la variable d’intégration. Sa définition est $erf(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^z{e}^{-{\zeta }^2}d\zeta erf(z)=\backslash frac\{2\}\{\backslash sqrt\{\backslash pi\}\}\backslash int\_0^z\; e^\{-\backslash zeta^2\}\backslash ,d\backslash zeta$.

Pour une entrée réelle, erf prend ses valeurs dans [−1 ; 1]. Elle vaut 0 à l’origine et elle est impaire : $erf(-z)=-erf(z)erf(-z)=-erf(z)$. Quand l’entrée réelle tend vers plus l’infini, sa valeur tend vers 1. La fonction complémentaire, notée erfc, est définie sur le même domaine par $erfc(z)=1-erf(z)erfc(z)=1-erf(z)$.

La lettre grecque Φ désigne la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. Le lien entre les deux fonctions est $\mathrm{\Phi }(z)=\frac{1}{2}(1+erf\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right))\backslash Phi(z)=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(1+erf\backslash left(\backslash frac\{z\}\{\backslash sqrt\{2\}\}\backslash right)\backslash right)$. Le facteur √2 change donc l’échelle de l’entrée, tandis que le facteur 1/2 et l’addition de 1 transforment les valeurs de erf.

La définition assemble cinq éléments. L’argument z fixe la borne d’arrivée de l’intégrale, tandis que 0 en est la borne de départ. La variable ζ parcourt l’intervalle d’intégration. L’expression exponentielle $e^{-{\zeta }^2}e^\{-\backslash zeta^2\}$ fournit la quantité accumulée. Enfin, le coefficient $\frac{2}{\sqrt{\pi }}\backslash frac\{2\}\{\backslash sqrt\{\backslash pi\}\}$ normalise cette accumulation.

La borne z et l’intégrande déterminent ensemble la valeur de l’intégrale ; le coefficient transforme ensuite cette valeur en erf(z). Pour les réels, l’intégrande est positif : la courbe monte de −1 vers 1 et traverse l’origine. La courbe proposée rend visibles cette progression, l’imparité et la valeur calculée pour z = 1. Ces données suffisent aussi à obtenir erfc(z) par soustraction à 1.

On cherche erf(1), sa valeur complémentaire et la valeur correspondante de la fonction de répartition normale. Les données sont l’entrée z = 1, le coefficient 2/√π ≈ 1,128379 et l’intégrale numérique ${\int }_0^1{e}^{-{\zeta }^2}d\zeta \approx \mathrm{0,746824}\backslash int\_0^1\; e^\{-\backslash zeta^2\}\backslash ,d\backslash zeta\backslash approx\; 0\{,\}746824$.

1. Multipliez l’intégrale par le coefficient : $erf(1)\approx \mathrm{1,128379}\times \mathrm{0,746824}\approx \mathrm{0,842701}erf(1)\backslash approx\; 1\{,\}128379\backslash times\; 0\{,\}746824\backslash approx\; 0\{,\}842701$.

2. Soustrayez ce résultat à 1 : $erfc(1)=1-erf(1)\approx \mathrm{0,157299}erfc(1)=1-erf(1)\backslash approx\; 0\{,\}157299$.

3. Dans la relation avec la loi normale, l’entrée √2 donne √2/√2 = 1. Ainsi, $\mathrm{\Phi }(\sqrt{2})=\frac{1+erf(1)}{2}\approx \mathrm{0,921350}\backslash Phi(\backslash sqrt\{2\})=\backslash frac\{1+erf(1)\}\{2\}\backslash approx\; 0\{,\}921350$.

Le contrôle consiste à additionner les deux valeurs complémentaires : 0,842701 + 0,157299 = 1. L’imparité donne aussi erf(−1) ≈ −0,842701.

En probabilités, on emploie la relation avec Φ lorsqu’une question porte sur la loi normale centrée réduite. Le facteur √2 indique comment convertir l’entrée avant de lire erf.

En physique thermique, la fonction d’erreur intervient dans l’étude de l’équation de la chaleur. La forme complémentaire erfc est préférable lorsque la quantité suivie décroît vers 0 plutôt qu’elle ne croît vers 1.

En électromagnétisme et en traitement du signal, erf sert à décrire une transition lissée. Le choix entre erf et erfc dépend alors du sens observable de la transition : montée vers 1 ou reste décroissant jusqu’à 0.

Une erreur de mesure. Une erreur compare une valeur observée à une référence. La fonction erf est au contraire une fonction spéciale définie par une intégrale. L’entrée 1 produit ainsi un nombre voisin de 0,842701, sans représenter automatiquement un écart de mesure.

La fonction de répartition Φ. Les deux fonctions sont liées, mais leurs entrées ne coïncident pas directement. Pour obtenir Φ(z), il faut évaluer erf en z/√2, puis ajouter 1 et diviser par 2. À l’origine, erf(0) = 0 tandis que Φ(0) = 1/2.

La fonction complémentaire erfc. Erfc n’est pas une autre convention pour erf : elle vaut exactement 1 − erf. À z = 1, les valeurs approchées 0,157299 et 0,842701 les distinguent et leur somme fournit le contrôle.

Le domaine complexe. L’encadrement entre −1 et 1 vaut pour une entrée réelle. Il ne faut pas l’appliquer automatiquement à un nombre complexe ; dans ce cas, il faut revenir à la définition intégrale sur les complexes.

Une limite n’est pas une valeur finie. L’écriture erf(+∞) = 1 décrit le comportement lorsque l’entrée réelle grandit sans borne. Elle ne signifie pas qu’un seuil réel fini, comme z = 1, donne déjà 1 : erf(1) vaut environ 0,842701.

Un arrondi n’est pas une identité. Les valeurs 0,842701 et 0,157299 sont approchées. Dans un contrôle numérique, il faut conserver le signe ≈ et une précision commune ; les identités exactes restent erfc(z) = 1 − erf(z) et erf(−z) = −erf(z).

La fiche fonction de répartition précise le rôle de Φ dans le calcul des probabilités cumulées.

La fiche loi normale centrée réduite replace la transformation par √2 dans son cadre probabiliste.

La fiche équation de la chaleur prolonge l’usage thermique mentionné dans la définition.

L’article À la base du traitement du signal situe l’un des domaines où apparaît cette transition lissée.