formule de Li Renshu

Imaginez que l’on additionne plusieurs façons de choisir des objets, puis que l’on compare ce total à un carré de choix plus direct. La formule de Li Renshu affirme que ces deux calculs donnent exactement le même nombre. Pour chaque valeur de j, on prend le carré du nombre de choix de j éléments parmi k, puis on le multiplie par un autre coefficient binomial. La somme de ces contributions reproduit alors le carré du nombre de choix de k éléments parmi n + k.

La formule de Li Renshu est une identité entre coefficients binomiaux, c’est-à-dire entre des nombres de choix. Pour des entiers naturels n et k, avec la convention C(a,b)=0 lorsque b>a, elle additionne, pour chaque entier j compris entre 0 et k, le carré de C(k,j) multiplié par C(n + 2k − j, 2k). Le résultat est le carré de C(n + k, k).

Dans cette écriture, C(a,b) désigne le nombre de sous-ensembles de b éléments dans un ensemble de a éléments. Les paramètres n et k sont donc pris de façon à rendre ces coefficients binomiaux définis dans le cadre usuel des entiers naturels. L’indice j parcourt toutes les valeurs de 0 à k, et chaque terme contribue à la somme finale. L’identité est aussi décrite comme une convolution de suites de coefficients binomiaux.

Pour des entiers naturels n et k, en adoptant la convention C(a,b)=0 lorsque b>a, la formule s’écrit :

La somme de gauche rassemble les contributions indexées par j ; le membre de droite est le carré d’un seul coefficient binomial. L’égalité est exacte dans ce domaine.

La formule s’applique dans l’interprétation usuelle lorsque n et k sont des entiers naturels, avec j parcourant les entiers de 0 à k. On adopte la convention C(a,b)=0 lorsque b>a ; lorsque b≤a, C(a,b) désigne le nombre de choix de b éléments parmi a. Cette convention s’applique notamment à C(n + 2k − j, 2k) lorsque nécessaire.

Le cas k = 0 est déjà inclus : la somme ne contient que j = 0 et les deux membres valent 1. En revanche, une valeur non entière de k ne fournit pas l’intervalle discret d’indices requis. Pour des paramètres réels ou pour une autre extension des coefficients binomiaux, il faut préciser une convention supplémentaire avant d’utiliser cette identité.

Prenons n = 3 et k = 2. Les données nécessaires sont C(2,0) = 1, C(2,1) = 2, C(2,2) = 1, ainsi que les coefficients C(7,4), C(6,4) et C(5,4).

Le terme j = 0 vaut 1² × 35 = 35.
Le terme j = 1 vaut 2² × 15 = 60.
Le terme j = 2 vaut 1² × 5 = 5.
La somme vaut donc 35 + 60 + 5 = 100.

Le membre de droite vaut C(3 + 2, 2)² = C(5,2)² = 10² = 100. Les deux calculs coïncident exactement ; les contributions de la somme sont 35, 60 et 5.

Pour vérifier un cas concret, choisissez d’abord deux entiers naturels n et k, puis calculez séparément chaque coefficient binomial de la somme. Cette séparation permet de repérer immédiatement une erreur d’indice ou de calcul.

Une feuille de calcul ou un programme peut automatiser les coefficients lorsque k est grand. Il reste préférable de conserver les termes séparés, car la somme obtenue doit être comparée au carré de C(n + k,k), et non à une valeur arrondie.

Pour comprendre l’identité plutôt que seulement la vérifier, on peut ensuite chercher une preuve par fonctions génératrices ou par comptage de chemins. Ces deux approches éclairent le même résultat par des mécanismes différents.

La formule de Li Renshu ne désigne pas le coefficient binomial lui-même. Un coefficient comme C(5,2) est un nombre de choix isolé, tandis que la formule établit une égalité entre une somme pondérée de tels nombres et un carré. Dans l’exemple, C(5,2) = 10, alors que l’identité complète donne 100.

Elle ne doit pas non plus être réduite à une simple convolution de deux suites. La convolution décrit la structure de la somme ; la formule précise en plus que cette somme prend exactement la valeur C(n + k,k)².

Le piège principal consiste à remplacer la somme par un seul terme. Pour k = 2, les trois indices j = 0, 1 et 2 produisent respectivement 35, 60 et 5 ; supprimer l’un d’eux détruit l’égalité. Il faut donc vérifier que les bornes vont bien de 0 à k.

Le cas k = 0 est charnière : il ne reste qu’un terme et chaque membre vaut 1. Une généralisation à des paramètres non entiers ou à des coefficients binomiaux étendus peut exister, mais elle ne relève plus automatiquement de l’énoncé combinatoire usuel ; la convention doit être explicitée.

Cette identité ouvre sur deux façons de démontrer des résultats combinatoires : les fonctions génératrices transforment les suites en expressions algébriques, tandis que le comptage de chemins donne une lecture directe des objets comptés. Elle s’inscrit ainsi dans l’étude plus large des identités entre coefficients binomiaux.