googol

Écrivez 10⁶ en entier : 1 000 000. Le 1 est suivi de six zéros. Un googol reprend exactement ce principe, mais avec 100 zéros après le 1.

Cette suite compterait 101 chiffres au total. La puissance 10¹⁰⁰ permet donc de désigner sans ambiguïté un entier immense sans recopier toute son écriture décimale.

Un googol est un nombre entier. En notant ce nombre g, sa définition s’écrit :

La base est 10 et l’exposant est 100. Comme toute puissance de 10 dont l’exposant est un entier positif, ce nombre s’écrit en décimal avec un 1 suivi d’autant de zéros que l’exposant : le googol possède donc 100 zéros et 101 chiffres. En 1920, le mathématicien Edward Kasner lui a donné ce nom à partir d’une suggestion de son neveu Milton Sirotta, alors âgé de neuf ans. Sa taille est voisine de celle de 70 factorielle, notation 70!, tout en restant un entier précisément défini. Elle dépasse de très loin le nombre estimé d’atomes dans l’univers observable.

On veut passer d’un modèle court au googol. Les données sont la base 10, l’exposant 6 pour le modèle et l’exposant 100 pour le googol.

1. Développez le modèle : 10⁶ = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 1 000 000.

2. Comptez les positions après le 1 : il y a six zéros, exactement autant que l’exposant. L’écriture possède sept chiffres en comptant le 1 initial.

3. Appliquez la même règle à l’exposant 100 : 10¹⁰⁰ est un 1 suivi de 100 zéros. C’est un googol.

4. Ajoutez le chiffre initial au nombre de zéros : le googol comporte 100 + 1 = 101 chiffres. Une représentation compacte conserve ce décompte sans prétendre afficher les 100 zéros. Le contrôle est refaisable avec 10⁶ : six zéros donnent bien sept chiffres.

Pour écrire le nombre sans aligner 100 zéros, on emploie 10¹⁰⁰. L’écriture décimale convient si l’on doit voir chaque chiffre ; la puissance est préférable lorsque la longueur elle-même porte l’information.

Pour retrouver le nombre de zéros, on lit directement l’exposant 100. Pour obtenir le nombre total de chiffres, on ajoute le 1 placé au début : 101 chiffres.

Pour comparer son ordre de grandeur à 70!, on garde les notations compactes plutôt que leurs développements. La comparaison porte sur la taille des nombres, pas sur une égalité entre eux.

Infini. Un googol est un entier fini : son écriture possède exactement 101 chiffres. Le test décisif consiste à lui ajouter 1 ; on obtient encore un entier plus grand.

Compter 100 chiffres. L’exposant donne le nombre de zéros, non le nombre total de chiffres. Le symptôme est un total de 100 ; il faut ajouter le 1 initial et obtenir 101 chiffres.

Lire 10 × 100. Une puissance n’est pas une multiplication par l’exposant. Le modèle 10⁶ vaut 1 000 000, et non 60 ; il faut multiplier six facteurs égaux à 10.

Transformer une proximité en égalité. Dire que le googol est d’un ordre de grandeur voisin de 70! ne signifie pas que 10¹⁰⁰ = 70!. Il faut conserver le signe de comparaison implicite et ne pas substituer les deux nombres.

En faire une mesure de l’univers. La comparaison avec le nombre estimé d’atomes dans l’univers observable illustre une taille. Elle ne définit pas le googol ; sa définition exacte reste 10¹⁰⁰.

googolplex — Pour poursuivre l’exploration des nombres nommés à partir du googol.

infini — Pour distinguer un entier fini, même immense, d’une notion sans entier maximal.