googolplex

Prenez le nombre 10 et écrivez un 1 suivi de 100 zéros : vous obtenez un googol. Le googolplex reprend la même idée à une échelle vertigineuse. C’est un 1 suivi non de 100 zéros, mais d’un googol de zéros.

La notation par puissances tient en quelques signes, tandis que l’écriture décimale complète est matériellement impossible. Malgré cette taille, le googolplex reste un nombre entier fini.

On note g le googol, défini par $g={10}^{100}g=10^\{100\}$. Le googolplex, également orthographié gogolplex, est le nombre entier obtenu en élevant 10 à la puissance g. En notant ce nombre G, sa définition s’écrit :

Une puissance de 10 d’exposant entier positif s’écrit comme un 1 suivi d’autant de zéros que l’exposant. Le googolplex est donc un 1 suivi de g zéros et comporte g + 1 chiffres. Cette écriture aurait plus de chiffres qu’il n’existe d’atomes dans l’univers visible ; elle ne peut pas être explicitée intégralement. L’inverse de G est le googolminex, ou gogolminex. Il vérifie $G^{-1}={10}^{-g}={10}^{-{10}^{100}}G^\{-1\}=10^\{-g\}=10^\{-10^\{100\}\}$ : c’est un nombre réel strictement positif, extrêmement proche de zéro.

Un modèle réduit rend visible la construction du googolplex. Les données sont la base 10 et le petit exposant intérieur 3. Le même enchaînement sera ensuite appliqué à l’exposant intérieur 100.

1. Calculez d’abord la puissance intérieure : 10³ = 1 000.

2. Utilisez ce résultat comme nouvel exposant : vous obtenez 10^{1 000}.

3. Cette dernière puissance est un 1 suivi de 1 000 zéros ; son écriture compte donc 1 001 chiffres.

4. Pour le googolplex, remplacez 3 par 100 : la puissance intérieure vaut 10¹⁰⁰, soit un googol, puis la puissance extérieure vaut 10 élevé à ce googol. Une représentation comparée permet de suivre les deux niveaux d’exposants sans dérouler les zéros. Le contrôle consiste à retirer le premier chiffre : il reste exactement autant de zéros que l’exposant extérieur.

Pour écrire ou transmettre le googolplex, on conserve la puissance imbriquée ${10}^{{10}^{100}}10^\{10^\{100\}\}$. Une liste décimale convient aux petits nombres ; ici, son impossibilité matérielle impose la notation exponentielle.

Pour déterminer sa longueur, on ne tente pas d’aligner ses chiffres. On lit l’exposant extérieur : il donne le nombre de zéros, auquel on ajoute le 1 initial.

Pour raisonner sur son inverse, on change le signe de l’exposant. Une approximation par zéro peut masquer l’information essentielle ; la puissance négative indique que le googolminex reste positif.

Googol. Un googol vaut 10¹⁰⁰, tandis qu’un googolplex vaut 10 élevé à un googol. Le test décisif est l’exposant de 10 : 100 dans le premier cas, 10¹⁰⁰ dans le second.

Infini. Le googolplex est fini, même si son écriture complète est irréalisable. Le nombre obtenu en lui ajoutant 1 est encore plus grand ; il ne peut donc pas représenter l’infini.

Googolminex. Ce n’est pas une autre orthographe du googolplex, mais son inverse. Le googolplex est supérieur à 1, le googolminex est compris strictement entre 0 et 1, et leur produit vaut 1.

Dérouler les chiffres. Une tentative d’écriture décimale ne peut pas aboutir matériellement : il faudrait inscrire un googol de zéros. Il faut conserver la notation ${10}^{{10}^{100}}10^\{10^\{100\}\}$.

Oublier le premier chiffre. Le nombre de zéros n’est pas le nombre total de chiffres. Comme 10³ possède 3 zéros mais 4 chiffres, le googolplex possède un googol de zéros et un googol plus un chiffres.

Parler du plus grand entier. La taille du googolplex ne lui donne aucun statut maximal. Le symptôme est immédiat : le googolplex augmenté de 1 est un entier plus grand.

Assimiler l’inverse à zéro. Le googolminex est extrêmement proche de zéro, mais il n’est pas nul. Il faut garder son écriture en puissance négative pour préserver sa stricte positivité.

googol — Pour isoler l’exposant 10¹⁰⁰ qui sert à construire le googolplex.

infini — Pour distinguer un entier fini gigantesque d’une notion qui ne désigne pas un entier maximal.