hexagone magique

Imaginez 19 alvéoles assemblées en un grand hexagone, avec trois alvéoles sur chacun de ses côtés. On y place une seule fois chaque entier de 1 à 19. Le défi consiste à obtenir le même total en suivant n’importe quelle rangée horizontale ou oblique. Dans l’unique solution normale non triviale, à rotations et réflexions près, ce total commun vaut 38.

Un hexagone magique est formé de cellules hexagonales disposées en un grand hexagone régulier. Son ordre, noté n, est le nombre de cellules portées par chaque côté. La figure possède 3n² − 3n + 1 cellules et 2n − 1 rangées dans chacune des trois directions. Une disposition est magique lorsque la somme des nombres est la même sur chacune de ces rangées.

L’hexagone est dit normal lorsqu’il emploie une fois chacun des entiers de 1 à 3n² − 3n + 1. En désignant ce nombre de cellules par N et la somme magique par M, une condition nécessaire est : Cette égalité vient du fait que, dans une direction donnée, les 2n − 1 rangées réunissent toutes les cellules une seule fois.

Il n’existe que deux hexagones magiques normaux : celui d’ordre 1, réduit à une cellule, et celui d’ordre 3. Pour l’ordre 3, les 19 entiers ont une somme totale de 190, répartie entre cinq rangées par direction ; la somme magique est donc 38. Les hexagones d’ordres supérieurs cités dans l’histoire de la notion sont non normaux : leur suite d’entiers commence par une valeur différente de 1.

Prenons l’hexagone normal d’ordre 3 représenté par les 19 valeurs de la figure. Les données sont : trois cellules par côté, les entiers de 1 à 19 employés une seule fois et cinq rangées dans chacune des trois directions.

1. Le nombre de cellules vaut 3 × 3² − 3 × 3 + 1 = 19.
2. La somme des entiers vaut 1 + 2 + … + 19 = 19 × 20 ÷ 2 = 190.
3. Toute somme magique doit donc valoir 190 ÷ 5 = 38.

4. Les cinq rangées horizontales donnent 3 + 17 + 18 = 38 ; 19 + 7 + 1 + 11 = 38 ; 16 + 2 + 5 + 6 + 9 = 38 ; 12 + 4 + 8 + 14 = 38 ; 10 + 13 + 15 = 38.
5. Dans une direction oblique, on obtient 16 + 12 + 10 = 38 ; 19 + 2 + 4 + 13 = 38 ; 3 + 7 + 5 + 8 + 15 = 38 ; 17 + 1 + 6 + 14 = 38 ; 18 + 11 + 9 = 38. Dans l’autre, on obtient 3 + 19 + 16 = 38 ; 17 + 7 + 2 + 12 = 38 ; 18 + 1 + 5 + 4 + 10 = 38 ; 11 + 6 + 8 + 13 = 38 ; 9 + 14 + 15 = 38.

Les quinze additions confirment donc une somme commune de 38, sans unité. Chaque valeur apparaît aussi exactement une fois parmi les entiers de 1 à 19.

Dans un problème de vérification, on commence par contrôler l’ensemble des entiers utilisés. Pour un hexagone normal d’ordre 3, il faut retrouver chaque valeur de 1 à 19 une seule fois ; une répétition ou un oubli suffit à écarter la disposition.

On additionne ensuite les rangées dans les trois directions, pas seulement celles qui sont horizontales. Si une seule somme diffère de 38, la disposition d’ordre 3 n’est pas magique. Si le support est carré plutôt qu’hexagonal, le carré magique est l’objet à considérer.

Pour chercher une disposition, la somme totale fixe d’abord la valeur commune possible. Ce calcul est un filtre nécessaire, mais il ne construit pas la solution : il faut encore satisfaire simultanément toutes les rangées.

Un carré magique utilise un support carré, tandis que l’hexagone magique repose sur des cellules hexagonales assemblées en grand hexagone. Le critère qui tranche est donc la forme du réseau et le nombre de directions de rangées à contrôler : trois dans l’hexagone magique.

L’ordre 1 est un cas trivial : une cellule forme à elle seule toutes les rangées et sa somme vaut 1. Il ne faut donc pas présenter l’ordre 3 comme le seul hexagone normal, mais comme le seul qui soit non trivial.

Une somme correcte dans une ou deux directions ne suffit pas. Le symptôme est une rangée fautive dans la troisième direction ; il faut contrôler les 2n − 1 rangées de chacune des trois directions.

Au-delà de l’ordre 3, aucune disposition normale n’existe. Les exemples connus d’ordres 4 et 5 attribués à Arsen Zahray, d’ordre 6 à Louis Hoelbling en 2004, d’ordre 7 à Arsen Zahray en 2006 et d’ordre 8 à Louis K. Hoelbling en 2006 sont non normaux : leur suite d’entiers ne commence pas par 1.

Enfin, obtenir la valeur imposée par la somme totale est seulement une condition nécessaire. Pour conclure, il faut vérifier à la fois chaque rangée et l’emploi exact de tous les entiers requis par la variante normale.

Les premières références historiques à l’hexagone magique remontent à Ernst von Haselberg en 1887. L’unicité de la version normale n’épuise pas la recherche : modifier le premier entier de la suite permet d’étudier des ordres supérieurs non normaux.

Le carré magique permet de comparer la contrainte de somme constante sur un support carré avec celle des trois directions de l’hexagone.