Isocline
Une isocline d'une équation différentielle du premier ordre y' = f(x, y) est une courbe du plan (x, y) sur laquelle le champ de pentes (la dérivée y') est constante. Formellement, les isoclines sont les courbes d'équation f(x, y) = c pour différentes valeurs de la constante c. Le dessin des isoclines permet de tracer le champ de directions de l'équation différentielle et d'esquisser l'allure des solutions sans les calculer explicitement. L'isocline nulle (où y' = 0) repère les points où les solutions qui la rencontrent ont une tangente horizontale. Pour conclure à un extremum, il faut vérifier que y' change de signe le long de la solution.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir une isocline comme un ensemble de points à pente prescrite constante.
- Construire trois isoclines pour l'équation y′ = x + y.
- Distinguer une isocline d'une courbe solution.
- Interpréter avec prudence l'isocline nulle.
En clair
Imaginez une carte couverte de petits segments. Chaque segment indique la direction qu'une courbe solution prendrait en passant par ce point. Une isocline relie les endroits où ces segments ont exactement la même pente.
En traçant plusieurs de ces lignes, on organise le champ de directions par familles. Les segments horizontaux forment l'isocline nulle : une solution qui la rencontre possède alors une tangente horizontale.
Définition
Considérons une équation différentielle du premier ordre. La variable indépendante est notée x, la fonction inconnue est notée y et la règle qui attribue une pente à chaque point est notée f. L'équation s'écrit . Pour une valeur réelle c effectivement prise par f, une isocline de niveau c est l'ensemble des points où la pente imposée vaut c :
Une isocline est donc une courbe de niveau du champ de pentes, lorsqu'un tel niveau forme bien une ou plusieurs courbes. Elle peut avoir plusieurs composantes, se réduire à des points ou être vide. Une courbe solution est un autre objet : en chacun de ses points, sa tangente suit la pente du champ et elle traverse généralement plusieurs isoclines. Le cas c = 0 donne l'isocline nulle. Ses points imposent une tangente horizontale aux solutions qui y passent, mais cette seule information ne garantit ni maximum ni minimum.
Un exemple, pas à pas
Étudions le champ associé à l'équation . La règle de pente est donc la somme des coordonnées du point.
Données :
la variable indépendante x ;
la valeur de la fonction y ;
les trois niveaux de pente c = −1, c = 0 et c = 1.
la variable indépendante x ;
la valeur de la fonction y ;
les trois niveaux de pente c = −1, c = 0 et c = 1.
1. Pour un niveau c, on impose , puis on isole y. L'isocline a donc pour équation .
2. Les trois choix donnent les droites y = −1 − x, y = −x et y = 1 − x. Sur chacune, le champ porte respectivement des segments de pente −1, 0 et 1.
3. On place plusieurs petits segments parallèles de pente c le long de chaque droite. La figure rassemble ainsi trois familles de points à pente constante.
Le contrôle se refait par substitution. Le point de coordonnées x = 1 et y = 0 appartient à l'isocline c = 1, car 1 + 0 = 1 ; le segment du champ y a bien une pente égale à 1.
En pratique
Pour construire un champ de directions à la main, on choisit quelques valeurs de pente, on trace leurs isoclines, puis on place de courts segments orientés. Un logiciel devient préférable si les niveaux sont trop nombreux ou difficiles à résoudre.
Pour esquisser une solution, on dessine une courbe qui suit les segments et traverse chaque isocline avec la pente indiquée. Un calcul exact ou une méthode numérique reste nécessaire lorsqu'une valeur précise de la solution est recherchée.
Pour repérer des points stationnaires possibles, on commence par l'isocline nulle. On étudie ensuite le signe des pentes de part et d'autre : sans changement de signe le long de la solution, une tangente horizontale ne suffit pas à conclure à un extremum.
À ne pas confondre
Isocline et courbe solution. Sur une isocline, c'est la pente prescrite par l'équation qui reste constante. Une courbe solution, elle, suit partout le champ de directions. Dans l'exemple y′ = x + y, la droite y = 1 − x est une isocline de niveau 1, mais sa propre pente vaut −1 : elle n'est donc pas une solution.
Limites et pièges
Niveau absent. Si la valeur c n'est jamais prise par la fonction f, l'ensemble défini par f(x, y) = c est vide. Il ne faut alors tracer aucune courbe pour ce niveau.
Niveau dégénéré. Un niveau peut former plusieurs composantes, un point isolé ou même toute une région. Le mot « courbe » décrit le cas régulier ; il faut examiner l'ensemble de niveau réel avant de le dessiner comme une ligne unique.
Pente nulle. Le seuil c = 0 donne une tangente horizontale, pas automatiquement un maximum ou un minimum. Il faut suivre une solution et vérifier si sa pente change de signe ; une solution constante peut rester sur l'isocline nulle.
Champ peu régulier. Si f est discontinue ou si l'équation ne garantit pas une solution unique, le dessin du champ peut devenir trompeur. Les isoclines restent des ensembles de niveau, mais elles ne suffisent plus à assurer une esquisse fiable des solutions.
Pour aller plus loin
L'article Des équations différentielles en oncologie montre comment des équations différentielles servent à représenter une évolution dans une application concrète.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres