GéométrieNotion · Glossaire
jolygone
Un jolygone est une figure géométrique plane obtenue en reliant, selon un pas fixe, des points régulièrement espacés sur un cercle : le tracé forme un polygone régulier convexe ou, selon le pas, un polygone étoilé. Il se ferme en une seule boucle si et seulement si le nombre de points et le pas sont premiers entre eux, ce qui permet de visualiser simplement le rôle du PGCD et de la divisibilité.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Construire un jolygone en répétant un saut fixe sur un cercle.
- Prévoir avec le PGCD si le parcours forme une ou plusieurs boucles.
- Refaire l’exemple à dix points avec les pas 3 et 4.
- Reconnaître les pas équivalents et les cas dégénérés.
En clair
Placez dix points à intervalles réguliers sur un cercle. En partant d’un point, rejoignez toujours celui qui se trouve trois places plus loin. Le trait saute autour du cercle, dessine une étoile et finit par revenir au départ.
Ce dessin est un jolygone. Son allure vient de deux choix seulement : le nombre de points et le pas du saut. Leur diviseur commun indique si le parcours visite tous les points en une seule boucle ou se partage en plusieurs boucles.
Définition
Un jolygone est construit sur un cercle portant un nombre entier n de points régulièrement espacés, avec n au moins égal à 3. On choisit aussi un pas entier k : depuis le point numéroté i, on rejoint le point dont le numéro est celui de i + k, les numéros étant ramenés entre 0 et n − 1. Le même pas est répété jusqu’au retour au point de départ.
Le nombre de boucles séparées est le plus grand commun diviseur de n et k. Le tracé parcourt donc tous les points en un seul cycle exactement lorsque . Dans ce cas, n et k sont premiers entre eux, et la fraction est irréductible.
Le choix k = 1 donne le polygone régulier qui suit les points voisins. Un pas plus grand peut produire une étoile. Pour un tracé sans orientation, les pas k et n − k donnent les mêmes segments, parcourus en sens opposés. Le mot-valise « jolygone », formé de « joli » et du suffixe « -gone » lié aux angles, insiste sur cette rencontre entre dessin et arithmétique.
Un exemple, pas à pas
Données. Le cercle porte n = 10 points, numérotés de 0 à 9. Le pas choisi est k = 3 et le départ est le point 0. Le schéma matérialise le parcours unique obtenu avec ces données.
1. Ajoutez 3 au numéro courant et ramenez le résultat entre 0 et 9. Le parcours est 0 → 3 → 6 → 9 → 2 → 5 → 8 → 1 → 4 → 7 → 0.
2. Calculez le plus grand commun diviseur : . Les dix points appartiennent donc à une seule boucle, et la fraction 3/10 est irréductible.
3. Contrôlez le critère avec le pas 4. Cette fois, : en partant de 0, on obtient 0 → 4 → 8 → 2 → 6 → 0, tandis que les points impairs forment une seconde boucle. Le nombre de boucles est bien 2.
En pratique
Pour construire un motif, marquez des points régulièrement espacés sur un cercle, choisissez un pas, puis répétez toujours le même saut. Si tous les points doivent appartenir à un seul tracé, choisissez un pas premier avec leur nombre.
Pour prévoir la structure sans dessiner, calculez le PGCD du nombre de points et du pas. Un résultat égal à 1 annonce une boucle unique ; un résultat supérieur à 1 donne directement le nombre de boucles séparées.
Pour comparer deux motifs, réduisez d’abord le pas modulo le nombre de points. Sur un dessin non orienté, remplacez au besoin k par n − k : ces deux pas tracent les mêmes cordes en sens inverse.
À ne pas confondre
Un dessin en forme d’étoile n’est pas nécessairement un jolygone. Pour trancher, vérifiez que ses sommets sont régulièrement espacés sur un même cercle et que chaque segment applique le même pas. Une étoile tracée librement peut en avoir l’apparence sans respecter cette règle.
Un polygone régulier convexe relie les points voisins : le pas orienté usuel est 1, tandis que le pas n − 1 trace les mêmes segments en sens inverse. Un motif étoilé relie des points non voisins. Le décagone obtenu avec dix points et le pas 1 longe le cercle ; le jolygone conducteur utilise le pas 3 et croise ses cordes.
Limites et pièges
PGCD supérieur à 1. Le tracé ne visite pas tous les points depuis un seul départ. Avec dix points et le pas 4, il se partage en deux cycles de cinq points. Il faut partir d’un point encore inutilisé pour tracer l’autre cycle.
Pas nul modulo n. Si le pas est 0, n ou un multiple de n, chaque point est renvoyé sur lui-même : aucune corde ne relie deux points distincts. Il faut réduire le pas modulo n, puis choisir un reste compris entre 1 et n − 1.
Orientation du parcours. Les pas 3 et 7 sur dix points ont des suites de numéros différentes, mais ils dessinent les mêmes segments en sens contraires. Pour distinguer ces parcours, il faut orienter les segments ; pour comparer seulement la figure, ils sont équivalents.
Nombre de points insuffisant. Avec moins de trois points distincts, on ne construit pas de figure polygonale. Il faut au moins trois points régulièrement espacés sur le cercle avant de choisir le pas.
Pour aller plus loin
Le critère de fermeture repose entièrement sur le plus grand commun diviseur. La fiche PGCD montre comment calculer ce nombre et reconnaître deux entiers premiers entre eux.
Le même calcul donne davantage qu’un verdict : si d est le PGCD du nombre de points et du pas, le dessin comporte d cycles, chacun parcourant n/d points. Le cas d = 1 correspond exactement au jolygone tracé d’un seul trait.
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