mathématiques au 18e siècle

En 1736, Euler résout le problème des ponts de Königsberg et fait émerger une façon nouvelle d’étudier les connexions. Cet épisode illustre le XVIII^e siècle mathématique : des problèmes de mouvement, d’astronomie, de hasard ou de formes deviennent le point de départ d’outils généraux.

Le fil directeur est le calcul infinitésimal hérité de Newton et Leibniz. Bernoulli, Euler, d’Alembert, Lagrange, Laplace puis Gauss l’étendent, le clarifient ou ouvrent d’autres voies, des probabilités à la théorie des nombres.

Les mathématiques au XVIII^e siècle forment une période de développement et de mise en œuvre des outils du calcul infinitésimal fondés par Newton et Leibniz à la fin du siècle précédent. L’analyse algébrique, qui réunit alors la différentiation et l’intégration des fonctions, s’étend aux équations différentielles et à la mécanique. La rigueur de ses fondements reste cependant discutée : d’Alembert cherche notamment à clarifier la notion de limite.

Cette période ne se réduit pas au calcul. Jacques Bernoulli contribue fortement à la formalisation et au développement du calcul des probabilités, dont les fondements sont antérieurs, tandis que sa famille contribue aux équations différentielles et à la mécanique. Euler ouvre le calcul des variations et la géométrie différentielle ; ses travaux touchent aussi l’analyse, la théorie des nombres, la notation moderne et les premiers fondements de la théorie des graphes. Lagrange reformule algébriquement la mécanique et travaille sur les équations et les fonctions analytiques.

En fin de siècle, Laplace applique principalement ces méthodes à l’astronomie et à la confirmation des lois de Newton. Gauss intervient en construction géométrique et en algèbre. Il faut donc comprendre l’expression comme un panorama historique de domaines liés, non comme une théorie mathématique unique.

On rencontre cette période dans des ouvrages savants, des problèmes devenus célèbres et des travaux liés à la physique. Cinq marqueurs permettent de la reconnaître : le calcul différentiel et intégral ; les probabilités ; les équations différentielles ; la mécanique et l’astronomie ; enfin l’apparition de branches comme la théorie des graphes, le calcul des variations et la géométrie différentielle.

Les noms de Newton, Leibniz, Bernoulli, Euler, d’Alembert, Lagrange, Laplace et Gauss situent aussi ce contexte. Leurs publications et résultats montrent le passage d’outils nouveaux à des méthodes plus générales, accompagnées d’un effort de clarification.

Pour situer un résultat dans ce siècle, on lit d’abord sa date lorsqu’elle est donnée. On identifie ensuite le problème traité, puis la branche mathématique concernée. Enfin, on distingue le résultat lui-même de son prolongement ultérieur : la frise chronologique rend visibles ces repères sans confondre publication, résolution et ouverture d’un domaine.

Un nom célèbre peut tromper l’œil en donnant l’impression d’une invention isolée. Le bon réflexe consiste à suivre les continuités : Newton et Leibniz fournissent des fondements, Euler et Lagrange développent des méthodes, tandis que d’autres mathématiciens en précisent la portée ou les prolongent. La date sert de repère historique, pas de preuve qu’une théorie entière serait née cette année-là.

Prenons l’épisode d’Euler à Königsberg. Les données fournies sont les suivantes :
— le problème porte sur les ponts de Königsberg ;
— Euler le résout en 1736 ;
— cette résolution pose les bases de la théorie des graphes.

1. On part d’un problème concret de parcours.

2. Euler en donne une résolution mathématique en 1736.

3. La portée du travail dépasse le problème initial : il fonde une étude générale des connexions, appelée plus tard théorie des graphes.

À votre tour, appliquez ce tri au jalon de 1687 : relevez séparément l’objet, le résultat daté et sa postérité à partir des autres sections. Réponse attendue : objet — le mouvement et la gravitation ; résultat daté — les Principia de Newton formulent en 1687 les lois du mouvement et la loi universelle de la gravitation ; postérité — ces travaux fondent la mécanique classique, puis Laplace en confirme les lois en les appliquant à l’astronomie à la fin du siècle.

Pour lire un texte sur le calcul infinitésimal, on repère s’il traite de différentiation, d’intégration ou d’équations différentielles. Si le sujet est le hasard, la contribution de Jacques Bernoulli au développement des probabilités est plus pertinente.

Devant un travail de mécanique, on distingue la formulation newtonienne des lois du mouvement et de la gravitation de la reformulation algébrique proposée par Lagrange dans la Mécanique analytique.

Pour classer un résultat d’Euler, on regarde son objet : variation, géométrie, nombres, analyse ou connexions. Le nom du mathématicien ne suffit pas, car ses contributions traversent plusieurs branches.

Calcul infinitésimal et analyse algébrique. Le premier désigne les outils de différentiation et d’intégration hérités de Newton et Leibniz. Dans ce contexte historique, la seconde est un cadre plus large qui englobe l’intégration et la différentiation des fonctions.

Mécanique classique et mathématiques du siècle. Les lois du mouvement et la gravitation de Newton fondent la mécanique classique, mais le panorama mathématique comprend aussi les probabilités, l’analyse, la géométrie et la théorie des nombres. Un résultat sur le hasard ne relève donc pas de la mécanique.

Théorie des graphes et géométrie différentielle. Euler contribue aux deux, mais le problème des ponts de Königsberg est rattaché aux connexions et aux bases de la théorie des graphes, non à la géométrie différentielle.

Une chronologie n’est pas une démonstration. Les dates 1687, 1736, 1771, 1788, 1796 et 1799 situent des ouvrages ou résultats précis. Elles ne décrivent ni toutes les étapes intermédiaires ni une date unique de naissance pour chaque domaine.

Décrire n’est pas expliquer. Newton formule une attraction à distance, mais la source précise qu’il la décrit sans l’expliquer. Il faut conserver cette limite lorsqu’on présente la gravitation et les débats qu’elle suscite en Europe.

La paternité du calcul reste controversée. Attribuer simplement le calcul différentiel et intégral à Newton ou à Leibniz efface la controverse qui les oppose. On indique plutôt que leurs travaux en établissent les fondements à la fin du XVII^e siècle.

Les prolongements ne sont pas contemporains. Lagrange anticipe les travaux de Galois et d’Abel. Au XIX^e siècle, Cauchy structure l’analyse complexe, Legendre contribue à la théorie des fonctions elliptiques et Poisson prolonge l’analyse mathématique et ses applications physiques. Ces rapprochements signalent une postérité, pas une collaboration au XVIII^e siècle.

L’histoire du calcul infinitésimal — Pour replacer l’outil dominant du XVIII^e siècle dans une histoire plus longue.

Mesurer des distances au siècle des Lumières — Pour observer un usage concret des mathématiques dans le contexte scientifique des Lumières.