méthode d'Al-Khayyam

Imaginez une courbe et une autre courbe tracées sur une feuille. Leur point de rencontre peut donner la longueur positive recherchée pour une équation du troisième degré. C'est l'idée de la méthode d'Al-Khayyam : remplacer un calcul algébrique difficile par une construction géométrique.

La méthode classe les formes cubiques qu'elle couvre selon les termes présents et leur place. Pour chaque classe admissible, deux coniques — un cercle, une parabole ou une hyperbole équilatère — sont choisies afin que leur intersection représente la solution positive recherchée. La construction ne retient que les longueurs positives.

La méthode d'Al-Khayyam est une procédure géométrique de résolution d'équations polynomiales du troisième degré, c'est-à-dire dont le degré est 3. Elle ne traite pas toutes les cubiques générales sous une forme unique : elle répartit les formes admissibles de sa classification en 14 types selon les termes présents et leur position.

Dans les écritures de la fiche, $x^{3}x^3$ désigne le cube de l'inconnue x. Les lettres a, b et c désignent des coefficients ou des constantes ; leur valeur dépend de l'équation étudiée. Chaque type est associé à deux coniques choisies parmi le cercle, la parabole et l'hyperbole équilatère. La solution est l'abscisse positive du ou des points d'intersection correspondant à la construction.

Cette approche est purement géométrique : dans le cadre historique des formes admissibles et des constructions à longueurs positives, elle fournit les solutions positives représentées par ces constructions. Elle ne constitue donc pas encore une résolution algébrique générale incluant les solutions négatives ou une expression calculée par radicaux ; la source situe cette généralisation dans les travaux ultérieurs de Cardan puis de Bombelli.

Pour appliquer la méthode, on vérifie d'abord que l'équation cubique est une forme admissible et qu'une solution positive est recherchée, puis on la classe dans l'un des 14 types définis par la présence et la position de ses termes. On associe ensuite à ce type deux coniques parmi le cercle, la parabole et l'hyperbole équilatère. Le point d'intersection pertinent fournit la solution positive : sa coordonnée horizontale représente la valeur cherchée.

La procédure s'arrête lorsque la construction identifie cette coordonnée. Elle ne doit pas être présentée comme une formule algébrique universelle : son résultat est une solution positive obtenue par une configuration géométrique adaptée au type reconnu.

La méthode s'applique à une équation du troisième degré dont les termes ont été identifiés et rangés dans l'un des 14 types admissibles. Il faut vérifier la forme traitée, notamment les signes des coefficients, et rechercher une racine positive. Les coefficients et la constante doivent être connus, puis traduits dans une construction où deux coniques peuvent être comparées.

Trois contrôles sont nécessaires : l'équation doit être cubique, son type doit être correctement reconnu et les coniques doivent être celles associées à ce type. Une équation comme $x^3=-8x^3=-8$ possède une solution négative $x=-2x=-2$ ; elle sort donc du résultat positif fourni par cette approche. Il faut alors une méthode algébrique capable de traiter ce cas.

Considérons l'équation $x^3+2x=12x^3+2x=12$. L'exemple illustre le classement d'un type, sa traduction en deux coniques et le contrôle d'une solution positive.

Données : l'inconnue est x ; le terme cubique est $x^{3}x^3$ ; le coefficient du terme linéaire vaut 2 ; la constante vaut 12.

1. L'équation contient un terme cubique et un terme linéaire, sans terme en $x^{2}x^2$ ; elle relève donc de la forme $x^3+bx=cx^3+bx=c$.
2. On identifie ici $b=2b=2$ et $c=12c=12$.
3. Pour cette forme, on associe une parabole $y=x^2+by=x^2+b$ et une hyperbole équilatère $xy=cxy=c$. Ici, les données de construction sont donc $y=x^2+2y=x^2+2$ et $xy=12xy=12$.
4. À leur intersection, on lit l'abscisse positive $x=2x=2$ ; l'ordonnée correspondante vaut $y=6y=6$, car $2^2+2=62^2+2=6$ et $2\cdot 6=122\backslash cdot6=12$.
5. On contrôle enfin cette lecture dans l'équation de départ : $2^3+2\cdot 2=8+4=122^3+2\backslash cdot2=8+4=12$. Le résultat est donc la solution positive $x=2x=2$.

Le contrôle est refaisable : les deux coniques se rencontrent au point de coordonnées $(2,6)(2,6)$, et leur abscisse donne bien la solution positive. La substitution vérifie ensuite l'interprétation dans l'équation initiale.

Face à une équation cubique, le premier geste consiste à relever les termes présents et leur position, puis à vérifier que sa forme et ses signes entrent dans le domaine de la méthode. Si elle est admissible, cette lecture permet de la rapprocher de l'un des 14 types avant toute construction.

Le second geste consiste à traduire le type reconnu dans une configuration de deux coniques. Le point d'intersection pertinent donne une longueur positive à interpréter comme solution.

Pour vérifier le résultat, on remplace la valeur trouvée dans l'équation de départ. Si la valeur est négative ou si elle ne satisfait pas l'égalité, cette méthode n'est pas suffisante ; une résolution algébrique générale est l'alternative appropriée.

La méthode d'Al-Khayyam ne doit pas être confondue avec la résolution algébrique générale des équations cubiques. Le critère qui tranche est le support du raisonnement : dans le cadre historique des formes admissibles, la première fait intervenir l'intersection de deux coniques et fournit les solutions positives représentées par des longueurs positives ; la seconde, associée dans la source aux travaux de Cardan puis de Bombelli, vise une résolution algébrique générale.

Elle ne se réduit pas non plus à une simple classification. Les 14 types organisent les équations, mais la méthode comprend aussi une construction par deux coniques et l'interprétation de leur intersection comme solution.

Le premier piège concerne le signe. Une construction purement géométrique qui ne retient que des longueurs positives ne donne pas automatiquement les solutions négatives d'une équation cubique. Le symptôme est une racine négative trouvée par vérification mais absente de la construction ; il faut alors employer une résolution algébrique adaptée.

Le deuxième piège consiste à ignorer la place d'un terme. Les formes $x^3+bx=cx^3+bx=c$ et $x^3+c=bxx^3+c=bx$ contiennent des lettres comparables, mais l'égalité ne présente pas la même organisation. Le symptôme est un type mal classé ; il faut réécrire chaque membre avant de choisir les coniques.

Enfin, le nombre 14 est un décompte des types répertoriés dans la source, pas une affirmation selon laquelle chaque équation cubique possède une seule solution positive. Une intersection peut demander une interprétation soigneuse ; la valeur doit toujours être replacée dans l'équation initiale.

La notion de conique fournit le vocabulaire géométrique nécessaire pour comprendre les courbes mobilisées par la méthode. La formule de Cardan permet ensuite de situer le passage vers une résolution algébrique des équations cubiques.