méthode des maxima et minima

Un rectangle a deux côtés dont la somme vaut 10. En faisant varier l'un des côtés, son aire augmente, atteint un sommet, puis diminue. Fermat cherche la valeur au sommet en comparant l'aire obtenue pour un côté a avec celle obtenue après un très petit déplacement h.

Au voisinage du sommet, ces deux aires sont presque égales. L’adégalité consiste à exploiter cette quasi-égalité : les variations les plus fines sont écartées, et la variation du premier ordre indique la valeur recherchée.

La méthode des maxima et minima, ou méthode d’adégalisation, est la procédure de Fermat pour rechercher un extremum local d’une fonction et étudier des tangentes. La lettre a désigne la valeur candidate, la lettre h un petit accroissement non nul et f la fonction considérée. On compare f(a + h) à f(a) en les traitant comme presque égales, puis on simplifie leur différence.

Lorsque la différence se développe suivant les puissances de h, les termes communs sont supprimés, puis l’expression est divisée par h. Les termes qui contiennent encore h sont ensuite écartés. Le coefficient restant du premier ordre doit s’annuler, ce qui fournit une équation pour a. Dans le langage moderne, si f est dérivable et si a est un extremum local intérieur, cette condition s’écrit $f^{\mathrm{\prime }}(a)=0f\text{'}(a)=0$. Elle est nécessaire, mais ne suffit pas toujours à prouver qu’il s’agit d’un maximum ou d’un minimum. Cette démarche antérieure à la formalisation de la dérivée en constitue une proto-version. Fermat l’a aussi employée pour les tangentes et, selon la source, dans l’étude de la quadrature de la parabole.

Pour une fonction f et une valeur candidate a, prendre un accroissement non nul h.
1. Former f(a + h) et l’adégaler à f(a).
2. Soustraire les termes communs et développer suivant h.
3. Diviser par h, puis supprimer les termes qui contiennent encore h.
4. Poser le terme restant égal à zéro et résoudre l’équation en a.
5. Contrôler séparément que la valeur obtenue donne bien un maximum ou un minimum.

La procédure s’applique directement lorsque f(a + h) − f(a) peut être développée et simplifiée par puissances de h autour d’une valeur intérieure au domaine. Il faut pouvoir isoler un terme du premier ordre et diviser par un accroissement h non nul avant de l’écarter. L’équation obtenue fournit seulement une valeur candidate ; une comparaison des valeurs, un signe de variation ou un terme d’ordre supérieur doit confirmer la nature de l’extremum.

La fonction valeur absolue, notée $f(x)=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }f(x)=|x|$, possède un minimum en 0, mais aucun coefficient linéaire unique n’y décrit les deux côtés. La procédure précédente se bloque ; une comparaison directe ou une étude séparée à gauche et à droite convient mieux. De même, un extremum situé au bord d’un intervalle ne doit pas être écarté parce que le terme du premier ordre ne s’annule pas.

On considère un rectangle dont deux côtés consécutifs ont pour somme 10. Le premier côté mesure a, le second 10 − a, avec 0 ≤ a ≤ 10. Son aire est donnée par la fonction $f(a)=a(10-a)f(a)=a(10-a)$. La courbe associée rend visible le sommet que le calcul va déterminer.

1. Pour un accroissement non nul h, on forme l’aire voisine :

2. L’adégalité avec f(a), suivie de la soustraction, donne :

3. Après division par h, le résultat vaut 10 − 2a − h. On écarte le terme qui contient encore h, puis on résout :

4. Les deux côtés mesurent donc 5 et l’aire maximale vaut 25. Le contrôle est refaisable en complétant le carré :L’égalité n’a lieu que pour a = 5 sur l’intervalle considéré.

Pour reconstruire un calcul historique sur un polynôme, on développe f(a + h) − f(a), on divise par h, puis on écarte les puissances qui contiennent encore h. Le contrôle final par factorisation ou comparaison des valeurs reste indispensable.

Dans le calcul moderne, la dérivée remplace ce geste lorsque la fonction est dérivable. On résout f′(a) = 0 pour obtenir les points stationnaires, puis on étudie le signe de f′ ou les valeurs de f afin de reconnaître maxima et minima.

Si la courbe présente un angle, si le domaine possède un bord ou si le développement n’existe pas, une comparaison directe ou une étude unilatérale est préférable. Le critère observable est l’impossibilité d’obtenir un même terme du premier ordre des deux côtés.

Adégalité et égalité. Une égalité affirme que deux expressions ont exactement la même valeur. L’adégalité traite f(a + h) et f(a) comme presque égales pour isoler leur variation dominante ; dans l’exemple, f(5) = 25 tandis que f(6) = 24.

Extremum local et extremum global. Un maximum local domine seulement les valeurs suffisamment proches. Un maximum global domine toutes les valeurs du domaine. La résolution de l’équation du premier ordre ne décide pas, à elle seule, lequel des deux a été trouvé.

Adégalisation et dérivation. La première est la procédure historique décrite ici ; la seconde repose sur une définition formalisée de la dérivée. Elles conduisent au même coefficient du premier ordre dans les cas réguliers, sans être historiquement ni formellement identiques.

Un terme du premier ordre nul ne prouve pas un extremum. Pour la fonction $f(x)=x^{3}f(x)=x^3$, le coefficient du premier ordre s’annule en 0, mais les valeurs passent du négatif au positif. Il faut contrôler le signe des variations ou comparer les valeurs.

Le premier ordre peut être muet. Pour $f(x)=x^{4}f(x)=x^4$ en 0, plusieurs ordres s’annulent avant que le terme de degré 4 révèle un minimum. Il faut alors conserver le premier terme non nul ou employer un autre contrôle.

La division précède la suppression. L’accroissement h doit être non nul au moment où l’on divise. Le poser égal à zéro trop tôt ferait disparaître toute information ; on simplifie d’abord, puis on écarte les termes qui contiennent encore h.

Les bords et les angles exigent un examen séparé. Sur l’intervalle [0, 1], la fonction f(x) = x atteint son maximum en 1 sans point stationnaire intérieur. Pour |x|, le minimum 0 se trouve à un angle. Il faut tester les bords et les deux côtés.

Un exemple historique avec Fermat replace un raisonnement de Fermat dans son contexte et prolonge l’approche historique de la fiche.

La dérivée pour toucher le fond montre comment la dérivée traite aujourd’hui la recherche d’un minimum.