Neuberg Joseph Jean Baptiste

Imaginez un triangle ABC et la droite particulière qui organise plusieurs de ses centres : sa droite d’Euler. La cubique de Neuberg est une courbe liée à ce triangle et à cette droite.

Son nom vient de Joseph Jean Baptiste Neuberg, qui a accompli ses études et développé sa carrière en Belgique. Influencé par les travaux de Möbius, il a consacré ses recherches à la géométrie du triangle et fondé en 1874, avec Eugène Catalan, le journal Nouvelle correspondance mathématique. Pour reconnaître la courbe, retenez surtout son mécanisme : elle est isogonale et son pivot est placé à l’infini sur la droite d’Euler. « À l’infini » décrit ici une direction, pas un point que l’on pourrait placer sur la feuille.

Pour un triangle ABC non dégénéré et non équilatéral, la cubique de Neuberg est une cubique isogonale dont le pivot est à l’infini sur la droite d’Euler du triangle. Une cubique est une courbe algébrique de degré 3 ; ici, cette description de degré identifie la famille de courbes, tandis que l’adjectif isogonale et le pivot fixent la construction géométrique considérée.

Les lettres A, B et C désignent les trois sommets du triangle. La droite d’Euler désigne la droite de référence du triangle mentionnée dans la définition ; le pivot à l’infini sur cette droite fournit une direction. La propriété isogonale signifie que la construction compare des directions par rapport aux bissectrices des angles du triangle.

La formulation dépend donc du triangle ABC : changer le triangle change sa droite d’Euler et la cubique associée. Le qualificatif « de Neuberg » ne désigne ni la droite d’Euler elle-même ni une cubique quelconque ; il désigne cette association précise entre un triangle, une isogonalité et un pivot à l’infini situé sur cette droite.

On considère un triangle ABC. Les données utiles sont les trois sommets A, B et C, la droite d’Euler de ce triangle et la direction de cette droite lorsqu’elle est regardée à l’infini.

1. Le triangle ABC fixe la figure de départ.

2. On repère la droite d’Euler associée à ABC.

3. On considère sur cette droite le pivot à l’infini, c’est-à-dire la direction de la droite plutôt qu’un point fini.

4. Pour rendre le contrôle concret, prenez un point-test M et réfléchissez les droites MA, MB et MC par rapport aux bissectrices des angles en A, B et C ; leur intersection donne le point isogonal M'. Vérifiez ensuite que la droite MM' a la direction de la droite d’Euler : avec le pivot à l’infini, cela signifie qu’elle est parallèle à cette droite. Les points qui passent ce contrôle forment la cubique de Neuberg associée à ABC ; on vérifie ainsi séparément l’isogonalité et la direction du pivot.

Dans une étude de géométrie du triangle, commencez par fixer clairement le triangle ABC. Le geste utile consiste à déterminer la droite d’Euler avant de parler de la cubique, car la direction du pivot en dépend.

Pour une lecture rapide d’une définition, cherchez trois informations : le triangle de référence, la nature cubique de la courbe et la position du pivot. Si l’une manque, la description reste incomplète.

Lorsque le dessin ne montre pas le pivot, préférez la lecture par sa direction à une recherche de point visible. Cette convention évite de confondre un point à l’infini avec une extrémité éloignée de la feuille.

Cubique de Neuberg et droite d’Euler. La droite d’Euler est une droite de référence du triangle ; la cubique de Neuberg est une courbe associée à ce triangle. Le cas qui tranche est le suivant : si l’objet décrit n’est qu’une droite, il ne s’agit pas de la cubique.

Cubique de Neuberg et cubique quelconque. Le mot « cubique » indique le degré 3, mais ne suffit pas à identifier Neuberg. Il faut encore la propriété isogonale et le pivot à l’infini sur la droite d’Euler. Une cubique sans ces deux marqueurs ne peut pas être appelée cubique de Neuberg sur la seule foi de son degré.

Le pivot à l’infini n’est pas un point fini. Le symptôme observable est une tentative de placer le pivot à une distance mesurable sur la droite d’Euler. Il faut remplacer cette position par la direction de la droite ; aucune distance au pivot ne doit alors être calculée.

Le triangle de référence ne peut pas être oublié. Le symptôme est une courbe nommée « cubique de Neuberg » sans triangle ABC indiqué. Il faut préciser le triangle, car sa droite d’Euler fournit la direction requise pour le pivot.

Le degré ne suffit pas. Une courbe de degré 3 peut satisfaire la première partie du nom sans être la courbe de Neuberg. Le bon réflexe est de vérifier séparément l’isogonalité et la position du pivot sur la droite d’Euler.

Pour replacer la cubique de Neuberg dans la famille des courbes étudiées en géométrie, consultez Cubique. Vous y gagnerez le repère de degré qui explique pourquoi la courbe appartient à cette famille, sans perdre les conditions propres à Neuberg.

Pour approfondir la droite qui porte la direction du pivot, consultez droite d’Euler. Vous pourrez distinguer cette droite de la courbe qui lui est associée dans la définition de Neuberg.