nombre oblong

Alignez 20 points en 4 rangées de 5. Ils remplissent un rectangle dont un côté mesure une unité de plus que l'autre. Le nombre 20 est donc oblong, et son rang est 4, la plus petite dimension.

Le même geste produit 2, 6, 12, 20, 30… points avec des rectangles 1 × 2, 2 × 3, 3 × 4, 4 × 5, 5 × 6. Chaque fois, les deux côtés sont des entiers consécutifs.

Un nombre oblong, ou nombre hétéromèque, est un nombre figuré rectangulaire dont les côtés diffèrent exactement d'une unité. Le rang, noté n, est la longueur du plus petit côté, exprimée en unités. Dans la convention usuelle où n est un entier strictement positif, le grand côté vaut n + 1 et le terme de rang n vaut : $n(n+1)n(n+1)$.

Deux entiers consécutifs ont toujours l'un d'eux pair. Leur produit n(n + 1) est donc pair. Les premiers termes sont 2, 6, 12, 20 et 30, pour les rangs 1 à 5. Le passage du rang n au rang n + 1 ajoute deux fois la nouvelle petite dimension : $(n+1)(n+2)-n(n+1)=2(n+1)(n+1)(n+2)-n(n+1)=2(n+1)$.

La forme du rectangle fait partie du critère : les deux côtés doivent être consécutifs. Un nombre rectangulaire qui n'est ni carré ni hétéromèque est appelé promèque. Les nombres hétéromèques ont notamment été étudiés dans l'Antiquité par Théon de Smyrne, au II^e siècle après J.-C.

Construisons le nombre oblong de rang 4, puis le terme suivant. Les données sont le rang n = 4, un petit côté de 4 unités et un grand côté de 5 unités.

1. Multiplions les dimensions du rectangle : 4 × 5 = 20. Le nombre oblong de rang 4 est donc 20.

2. Le rang suivant est 5. Ses dimensions sont 5 et 6, donc son nombre de points vaut 5 × 6 = 30.

3. Calculons l'accroissement annoncé par la règle : 2 × (4 + 1) = 10. La figure matérialise les 20 points initiaux et les 10 points ajoutés pour former le rectangle suivant.

4. Contrôlons par différence : 30 − 20 = 10. Le résultat coïncide avec 2 × (4 + 1), et le nouveau rectangle possède bien 5 rangées de 6 points.

Pour construire le terme de rang n, disposez n rangées de n + 1 points. Un carré n × n n'est pas l'alternative correcte, car ses côtés sont égaux au lieu d'être consécutifs.

Pour reconnaître un terme proposé, cherchez deux entiers consécutifs dont le produit donne ce nombre. Ainsi, 20 = 4 × 5 convient. En revanche, l'écriture 20 = 2 × 10 décrit un rectangle, mais pas le rectangle oblong qui fixe son rang.

Pour passer rapidement au rang suivant, ajoutez 2(n + 1) unités au terme de rang n. Si le rang n'est pas connu, retrouvez d'abord les deux côtés consécutifs plutôt que d'appliquer cette différence à l'aveugle.

Nombre carré. Un carré possède deux côtés égaux, tandis qu'un nombre oblong possède deux côtés consécutifs. Ainsi, 16 = 4 × 4 est carré ; 20 = 4 × 5 est oblong.

Nombre rectangulaire quelconque. Tout rectangle ne définit pas un nombre oblong : l'écart entre les côtés doit être exactement égal à 1. Le rectangle 3 × 5 contient 15 unités, mais ses côtés diffèrent de 2.

Nombre promèque. Dans le vocabulaire donné ici, un nombre rectangulaire qui n'est ni carré ni hétéromèque est promèque. Le produit 3 × 5 illustre ce cas, alors que 4 × 5 est hétéromèque.

Plusieurs décompositions. Un même entier peut admettre plusieurs rectangles. Pour 20, la décomposition 2 × 10 ne suffit pas à déterminer le rang oblong ; il faut repérer 4 × 5, dont les facteurs sont consécutifs.

Rang nul. La formule algébrique donne 0 × 1 = 0 lorsque n = 0, mais ce cas ne forme pas un rectangle de points à deux côtés positifs. Avec la convention géométrique de la fiche, les rangs commencent donc à 1.

Rang et valeur. Dans 4 × 5 = 20, le rang est 4 et le terme est 20. Confondre ces deux nombres décale toute la suite ; retrouvez toujours le plus petit côté avant d'utiliser la règle d'accroissement.

Facteurs dans le mauvais domaine. La définition figurée emploie des longueurs entières positives. Une factorisation réelle telle que 20 = 2,5 × 8 ne décrit pas un rectangle discret de rang 2,5 et ne permet pas de qualifier 20 par ce critère.

nombre rectangulaire — Situer les nombres oblongs dans la famille plus large des produits représentables par des rectangles.

nombre figuré — Relier l'écriture arithmétique d'un entier à une disposition régulière de points.

nombre carré — Comparer les rectangles à côtés consécutifs aux figures dont les deux côtés sont égaux.