nombre rectangulaire

Imaginez 60 carreaux identiques posés sans trou ni chevauchement. Ils peuvent former un rectangle de 12 carreaux sur 5, mais aussi un rectangle de 30 sur 2. Le nombre 60 est alors lu comme l’aire comptée en carreaux d’un rectangle à côtés entiers.

La différence entre les longueurs des deux côtés précise la forme obtenue : côtés égaux, côtés consécutifs ou côtés séparés par plus d’une unité.

Un nombre rectangulaire est un entier représentable par un rectangle dont les longueurs de côtés sont des entiers positifs. Si le nombre est noté n et les longueurs a et b, le comptage des cases donne :

La lettre d désigne la différence entre les deux côtés. Lorsque d = 0, la représentation est carrée et n est un carré parfait. Lorsque d = 1, elle est hétéromèque, aussi appelée oblongue. Lorsque d > 1, elle est promèque. Un même entier peut correspondre à plusieurs couples de facteurs : 60 possède notamment les représentations 30 × 2 et 12 × 5. L’ordre des côtés ne crée pas une nouvelle représentation, car tourner le rectangle ne change ni ses dimensions ni son nombre de cases. Si le rectangle 1 × n est admis, tout entier positif possède au moins une représentation rectangulaire ; une convention qui exige deux côtés supérieurs à 1 exclut les nombres premiers.

On dispose de 60 carreaux unitaires. Deux couples de dimensions sont proposés : 12 et 5, puis 30 et 2. Dans chaque cas, les côtés sont des entiers positifs.

1. Pour le premier rectangle, calculez 12 × 5 = 60 carreaux.
2. Sa différence de côtés vaut 12 − 5 = 7.
3. Pour le second rectangle, calculez 30 × 2 = 60 carreaux.
4. Sa différence de côtés vaut 30 − 2 = 28.

Les deux produits redonnent le nombre de départ. Comme 7 et 28 sont strictement supérieurs à 1, ces deux représentations de 60 sont promèques. La figure matérialise le même total de 60 cases dans les deux organisations.

Le contrôle consiste à recompter les lignes et les colonnes : 5 lignes de 12 cases donnent 60, tout comme 2 lignes de 30 cases. Les dimensions ont changé, mais pas le nombre de carreaux.

Avec des jetons ou des carreaux, on cherche des rangées complètes de même longueur. Si les 60 objets remplissent 5 rangées de 12 sans reste, le rectangle 12 × 5 fournit une représentation vérifiable.

Pour inventorier les formes possibles, on teste les diviseurs jusqu’à obtenir tous les couples de facteurs. On préfère cette recherche au dessin au hasard lorsque le nombre de cases devient trop grand pour être manipulé.

Pour qualifier une représentation, on compare ensuite ses deux côtés. Des côtés égaux indiquent un carré ; des côtés consécutifs, une forme hétéromèque ; une différence supérieure à 1, une forme promèque.

Un nombre rectangulaire ne désigne pas toute aire numérique d’un rectangle. Le rectangle de côtés 2,5 et 24 a une aire égale à 60, mais il ne représente pas 60 au sens retenu ici, car l’un de ses côtés n’est pas entier. À l’inverse, 12 × 5 représente bien 60 avec des cases unitaires entières.

Le cas 1 × n dépend de la convention adoptée. S’il est autorisé, tout entier positif n est rectangulaire. Si l’on exige deux côtés strictement supérieurs à 1, seuls les entiers possédant une factorisation non triviale sont retenus ; il faut donc annoncer la convention.

La valeur de d qualifie d’abord une représentation. Par exemple, 36 forme un carré 6 × 6 avec d = 0, mais aussi un rectangle 9 × 4 avec d = 5. Sans couple de côtés précisé, attribuer une seule de ces valeurs au nombre 36 serait ambigu.

Les rectangles a × b et b × a ne sont pas deux représentations distinctes : l’un s’obtient en tournant l’autre. Pour compter les formes de 60, on ne conserve donc qu’un ordre par couple de facteurs, par exemple 12 × 5 et non aussi 5 × 12.

La notion s’inscrit dans la famille des nombres figurés, qui relie un entier à une organisation géométrique de points ou de cases.

Le nombre carré approfondit le cas où les deux côtés entiers sont égaux et où la différence d vaut zéro.