rectangle magique

Imaginez une grille de deux lignes et quatre colonnes. On y répartit les nombres 1 à 8, puis on additionne horizontalement et verticalement. Les lignes, plus longues, peuvent avoir une somme plus grande que les colonnes sans rompre l'équilibre.

Le point décisif est la somme moyenne par case : elle doit être la même dans chaque ligne et dans chaque colonne. Une autre acception place plutôt les nombres aux sommets de carrés accolés et impose une somme commune sur ces carrés.

Dans la première acception, un rectangle magique est une grille comportant un nombre n de lignes et un nombre m de colonnes. Chaque case reçoit un nombre. Il existe une même valeur moyenne μ telle que la somme de chaque ligne vaille m fois μ et que la somme de chaque colonne vaille n fois μ.

En notant L la somme commune aux lignes et C la somme commune aux colonnes, la condition s'écrit :Les lignes ont donc toutes la même somme entre elles, tout comme les colonnes entre elles. Ces deux sommes sont égales si et seulement si (m − n) μ = 0 : c'est notamment le cas lorsque n = m, mais aussi, même si n ≠ m, lorsque μ = 0.

Dans la seconde acception, le support n'est plus un tableau de cases : plusieurs carrés sont disposés côte à côte et les nombres occupent leurs sommets. La contrainte porte alors sur une somme identique associée à chacun des carrés de la figure. Cette variante doit être annoncée, car elle ne se vérifie pas en additionnant des lignes et des colonnes.

On considère une grille de 2 lignes et 4 colonnes. Elle contient une seule fois chacun des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 et 8. La première ligne est 1, 7, 6, 4 ; la seconde est 8, 2, 3, 5.

1. Additionnez la première ligne : 1 + 7 + 6 + 4 = 18.
2. Additionnez la seconde ligne : 8 + 2 + 3 + 5 = 18.
3. Vérifiez les colonnes : 1 + 8 = 9, 7 + 2 = 9, 6 + 3 = 9 et 4 + 5 = 9.
4. Rapportez chaque somme au nombre de cases : 18 ÷ 4 = 4,5 pour une ligne et 9 ÷ 2 = 4,5 pour une colonne.

La grille est donc magique au sens rectangulaire : les sommes brutes des lignes et des colonnes diffèrent, mais leur valeur par case est identique. Comme contrôle global, les huit nombres totalisent 36 ; on retrouve 2 × 18 = 36 et 4 × 9 = 36.

Pour tester une grille numérique, additionnez séparément toutes les lignes, puis toutes les colonnes. Si les rangées n'ont pas la même longueur, comparez les sommes divisées par leur nombre de cases plutôt que les sommes brutes.

Pour construire un petit exemple, partez de nombres dont le total est compatible avec le nombre de lignes et le nombre de colonnes. Le total 36 convient à une grille 2 × 4, car il donne 18 par ligne et 9 par colonne.

Si les nombres sont inscrits aux sommets de carrés accolés, abandonnez le contrôle par lignes et colonnes. Identifiez d'abord les quatre sommets de chaque carré, puis comparez les sommes définies par cette seconde construction.

Un carré magique possède autant de lignes que de colonnes. Un rectangle magique au sens strict a deux dimensions différentes : la grille 2 × 4 de l'exemple est donc rectangulaire, tandis qu'une grille 3 × 3 est carrée.

Une grille dont toutes les lignes ont la même somme n'est pas nécessairement un rectangle magique. Le critère tranche en contrôlant aussi chaque colonne et en vérifiant que les sommes, divisées par leurs nombres de cases, donnent une valeur commune.

La définition n'impose pas, à elle seule, des nombres distincts ni une suite d'entiers consécutifs. Une grille constante satisfait automatiquement la proportionnalité ; il faut donc annoncer toute contrainte supplémentaire avant de parler d'unicité ou de difficulté de construction.

Le cas d'une seule ligne n'est pas automatiquement magique. Chaque colonne ne contient alors qu'un nombre ; pour partager la même moyenne que la ligne entière, toutes les cases doivent avoir la même valeur. Le même piège apparaît avec une seule colonne.

Dans une grille non carrée, exiger la même somme brute pour une ligne et une colonne est une mauvaise lecture. Avec 2 lignes et 4 colonnes, le bon rapport est 18 ÷ 4 = 9 ÷ 2 = 4,5, et non 18 = 9.

Enfin, les deux acceptions n'utilisent pas le même support. Quand les nombres sont placés aux sommets de carrés accolés, il faut expliciter quels sommets entrent dans chaque somme ; sinon, la vérification est ambiguë.

Le carré magique permet de comparer le cas où les deux dimensions coïncident et où les sommes de lignes et de colonnes peuvent être identiques.

L'article Construire son premier carré magique prolonge cette recherche d'équilibre par une construction guidée sur une grille carrée.

La moyenne arithmétique éclaire le critère central : comparer une somme au nombre de cases qui la composent.