AlgèbreObjet mathématique · Glossaire
Orienté (espace vectoriel)
Un espace vectoriel est dit orienté lorsqu'on lui a choisi une classe d'équivalence de bases, dite base directe, parmi les deux classes possibles (deux bases étant équivalentes si la matrice de passage a un déterminant positif). Une fois une convention d'orientation choisie, en dimension deux, l'orientation directe peut correspondre au sens trigonométrique et, en dimension trois, à la règle de la main droite. Le déterminant d'un endomorphisme est défini intrinsèquement, sans choix d'orientation.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier une orientation au choix d'une classe de bases directes.
- Tester une base par le signe du déterminant d'une matrice de passage.
- Interpréter les conventions du sens trigonométrique et de la main droite.
- Écarter les déterminants nuls et les cadres où le critère de signe ne s'applique pas.
En clair
Sur une feuille, deux flèches non alignées peuvent former une base. Leur ordre fixe un sens de rotation : de la première vers la seconde, on tourne soit dans le sens trigonométrique, soit dans le sens opposé. Choisir l'un de ces deux sens, c'est orienter le plan.
Toutes les bases qui conservent ce choix sont dites directes. Échanger les deux flèches inverse l'orientation : la nouvelle base devient rétrograde.
Définition
Un espace vectoriel réel de dimension finie non nulle possède deux classes de bases ordonnées. Deux bases appartiennent à la même classe lorsque le déterminant de la matrice de passage de l'une à l'autre est strictement positif. Une orientation est le choix de l'une de ces classes ; ses bases sont alors appelées directes, et celles de l'autre classe sont dites rétrogrades.
Le signe est bien cohérent : si l'on enchaîne deux changements de base, les déterminants se multiplient. Deux changements de signe positif restent positifs, tandis qu'un échange de deux vecteurs change le signe. Une fois une base directe choisie, toute base dont la matrice de passage a un déterminant positif définit donc la même orientation.
Dans le plan, la base canonique est généralement choisie directe et encode le sens trigonométrique. Dans l'espace réel de dimension trois, la convention usuelle est celle de la main droite. En dimension zéro, il n'existe qu'une base vide : la distinction en deux classes ne s'applique pas.
De quoi c'est fait
Quatre éléments interviennent. L'espace vectoriel réel fournit le cadre. Sa dimension finie fixe le nombre de vecteurs de chaque base. Une base ordonnée donne des coordonnées, tandis que sa matrice de passage vers une base de référence compare les deux ordres. Enfin, le signe du déterminant de cette matrice décide si les bases ont la même orientation.
La matrice dépend des deux bases, mais le verdict « même classe ou classe opposée » ne dépend pas d'une étape intermédiaire : la multiplication des déterminants le préserve. L'espace et ses opérations existent avant tout choix d'orientation. L'orientation ajoute seulement une étiquette cohérente, directe ou rétrograde, à chacune de ses bases ordonnées. Ces données suffisent à tester une base et à fixer les conventions de signe en géométrie orientée.
Un exemple, pas à pas
Dans le plan ℝ2, prenons les vecteurs e1 = (1, 0) et e2 = (0, 1). La base ordonnée B = (e1, e2) est choisie directe. Comparons-la à B′ = (e2, e1), obtenue en échangeant les deux vecteurs.
1. Les colonnes des nouveaux vecteurs, écrites dans B, donnent la matrice de passage P.
2. On calcule son déterminant.
3. Comme le déterminant est négatif, B′ appartient à la classe opposée : elle est rétrograde pour l'orientation choisie.
2. On calcule son déterminant.
3. Comme le déterminant est négatif, B′ appartient à la classe opposée : elle est rétrograde pour l'orientation choisie.
Le contrôle est visuel : dans B, passer de e1 à e2 suit le sens trigonométrique ; dans B′, le passage suit le sens horaire. Un second échange redonnerait B et un déterminant égal à (−1) × (−1) = 1.
En pratique
Dans le plan, on choisit généralement la base canonique comme directe. Pour tester une autre base ordonnée, on calcule le signe du déterminant de ses vecteurs exprimés dans cette base de référence. Un signe positif conserve le sens trigonométrique ; un signe négatif l'inverse.
En dimension trois, la règle de la main droite sert de convention visuelle pour une base directe. Si l'ordre des trois directions est inversé par un seul échange, il faut employer la base dans l'autre ordre pour retrouver l'orientation choisie.
Lors d'un changement de coordonnées, le critère observable reste le signe du déterminant de la matrice de passage. Sa valeur mesure aussi une variation de volume orienté, mais seul son signe répond à la question d'orientation.
À ne pas confondre
Orientation et sens d'un vecteur. Un vecteur possède une direction et un sens, mais cela n'oriente pas tout l'espace. Dans le plan, la flèche (1, 0) seule ne suffit pas : il faut une base ordonnée de deux vecteurs.
Orientation et repère. Un repère comprend une origine en plus d'une base. Déplacer l'origine change le repère sans changer l'orientation de sa base ; échanger les deux vecteurs du repère plan change l'orientation.
Déterminant et orientation. Le déterminant d'un endomorphisme est défini sans choisir d'orientation. Le choix intervient lorsqu'on veut attribuer un signe cohérent à des volumes, des bases ou des formes de volume.
Limites et pièges
Déterminant nul. Si les vecteurs proposés sont liés, leur matrice a un déterminant nul. Ils ne forment pas une base : on ne peut donc les qualifier ni de directs ni de rétrogrades. Il faut d'abord remplacer l'un d'eux pour obtenir une base.
Dimension zéro. L'espace réduit au vecteur nul possède une unique base, la famille vide. Il n'y a pas deux classes de bases à départager ; la définition usuelle par le signe d'un déterminant doit être adaptée à ce cas.
Convention, pas propriété absolue. Dire que la base canonique est directe fixe une orientation ; ce verdict n'est pas imposé par l'espace lui-même. Avant de comparer des bases, il faut annoncer la classe choisie comme directe.
Cadre réel. Le critère « positif ou négatif » concerne les espaces vectoriels réels. Sur les nombres complexes, un déterminant non nul n'a pas de signe ; cette construction ne fournit donc pas deux orientations de la même manière.
Pour aller plus loin
L'article espace vectoriel reprend le cadre dans lequel une base fournit des coordonnées et permet de situer précisément ce qu'ajoute le choix d'une orientation.
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