parabole de sécurité

Imaginez plusieurs lancers depuis le même point, toujours à la même vitesse. Un tir presque horizontal va loin sans beaucoup monter. Un tir plus vertical monte davantage, mais avance moins. Chaque angle produit ainsi une trajectoire différente.

Toutes ces trajectoires restent sous une même courbe frontière : la parabole de sécurité. Un point placé au-dessus de cette frontière est hors d'atteinte avec la vitesse choisie. Sauf au sommet, atteint par le tir vertical comme cas limite, un point situé sur la frontière n'est atteint que par le tir qui y est tangent.

Dans le modèle plan d'un projectile soumis à une pesanteur uniforme, sans résistance de l'air, tous les tirs partent du même point avec la même norme de vitesse initiale. Seule leur direction varie. En prenant le point de lancement pour origine, l'axe horizontal pour les abscisses et l'axe vertical orienté vers le haut pour les hauteurs, chaque direction engendre une trajectoire parabolique.

La vitesse fixée est notée V, l'intensité de la pesanteur est notée g, l'abscisse horizontale est x et la hauteur est y. Pour un angle de tir θ tel que cos(θ) soit non nul, une trajectoire a pour équation $y=x\tan (\theta )-\frac{g{x}^2}{2V^2{\cos }^2(\theta )}y=x\backslash tan(\backslash theta)-\backslash frac\{g\; x^2\}\{2V^2\backslash cos^2(\backslash theta)\}$. Lorsque θ parcourt les directions possibles, l'enveloppe de cette famille est la parabole de sécurité. Son sommet est obtenu par prolongement comme cas limite θ = π/2, correspondant au tir vertical. Son équation est :

La courbe sépare les points atteignables des points inatteignables dans ce modèle. Les points de la parabole d'abscisse non nulle sont atteints par une trajectoire tangente à l'enveloppe. Son sommet est atteint par le tir vertical, cas limite qui n'est pas tangent à la parabole au sens géométrique usuel. La région placée sous la parabole est atteignable si toutes les directions de lancement sont autorisées. Cette frontière dépend de V et de g, mais pas d'un angle particulier.

La construction repose sur quatre éléments. Le point de lancement fixe l'origine commune. La norme V fixe la vitesse disponible. La pesanteur g impose la même accélération verticale à tous les tirs. Enfin, l'angle θ distingue une trajectoire de la famille sans modifier V.

Chaque choix de θ donne une parabole de trajectoire. Leur enveloppe est une autre parabole, tangente à chaque membre de la famille en un point déterminé. Augmenter V élève et élargit cette frontière ; augmenter g la resserre et l'abaisse.

Le repère sert à mesurer x et y, mais son apparence graphique ne définit pas l'objet. Une fois l'origine, la verticale, V et g fixés, l'équation suffit à construire la frontière et à tester si une cible donnée se trouve dans la zone atteignable.

Un projectile part du sol à la vitesse V = 20 m/s. Pour garder des calculs exacts, le modèle prend g = 10 m/s². On cherche la hauteur maximale encore atteignable à 20 m horizontalement du départ.

Données :
V = 20 m/s ;
g = 10 m/s² ;
x = 20 m.

1. La parabole de sécurité devient $y=20-\frac{x^2}{80}y=20-\backslash frac\{x^2\}\{80\}$. Son sommet est donc à 20 m au-dessus du point de lancement.

2. À l'abscisse x = 20 m, la hauteur frontière vaut $y=20-\frac{{20}^2}{80}=15y=20-\backslash frac\{20^2\}\{80\}=15$. Une cible à 15 m est juste atteignable ; une cible à 16 m ne l'est pas avec cette vitesse dans ce modèle.

3. Le tir tangent vérifie $\tan (\theta )=\frac{V^2}{gx}=2\backslash tan(\backslash theta)=\backslash frac\{V^2\}\{gx\}=2$, soit θ ≈ 63,4°. En remplaçant dans l'équation de sa trajectoire, on retrouve exactement y = 15 m. Le schéma compare cette trajectoire frontière à deux autres tirs de même vitesse.

Contrôle : au niveau du sol, y = 0 donne x = 40 m du côté représenté. C'est aussi la portée obtenue pour le tir à 45° avec V = 20 m/s et g = 10 m/s².

En balistique, la frontière donne un premier test de portée. On place la cible dans le repère du tir : si elle dépasse la parabole de sécurité, changer seulement l'angle ne suffit pas. Il faut notamment modifier la vitesse initiale ou le modèle physique.

Dans un sport de lancer, elle permet de comparer les effets théoriques de l'angle lorsque la vitesse de départ reste fixée. Pour prévoir un lancer réel, un modèle tenant compte de la hauteur de lâcher et des effets aérodynamiques est préférable dès que ces écarts deviennent significatifs.

Dans un exercice, le geste utile consiste à calculer la hauteur de la frontière à l'abscisse de la cible. Une valeur supérieure à cette hauteur signifie « inatteignable » dans les hypothèses retenues ; une valeur égale correspond au tir tangent.

Une trajectoire parabolique. Elle correspond à un angle de tir précis. La parabole de sécurité enveloppe au contraire toutes les trajectoires obtenues avec la même vitesse. À x = 20 m dans l'exemple, le tir à 45° passe à 10 m, tandis que la frontière atteint 15 m.

La portée d'un tir. La portée est une distance horizontale jusqu'au retour à une hauteur donnée, souvent celle du départ. La parabole de sécurité est une frontière bidimensionnelle. Dans l'exemple, 40 m est une portée particulière, alors que la courbe fournit une hauteur limite pour chaque x.

La frontière dépend du modèle. Une résistance de l'air, un vent ou une pesanteur non uniforme modifie les trajectoires. Le symptôme est qu'elles ne suivent plus les paraboles prévues. Il faut alors recalculer l'enveloppe avec les équations physiques adaptées.

Le sol peut couper la zone mathématique. Dans l'exemple, la frontière rencontre la hauteur y = 0 à x = 40 m du côté du tir. Au-delà, la formule donne des hauteurs négatives. Si le projectile s'arrête au premier contact avec un sol horizontal, cette partie n'est pas une zone de vol accessible.

Restreindre les angles change la limite. La parabole de sécurité suppose que toutes les directions considérées par le modèle sont disponibles. Si un lanceur ne peut utiliser qu'un intervalle d'angles, l'enveloppe de cette sous-famille peut comporter des morceaux de trajectoires extrêmes au lieu de coïncider partout avec la parabole complète.

Un point frontière impose un tir précis. Être sur la parabole ne signifie pas que plusieurs angles conviennent. Dans le modèle complet, pour un point de l'enveloppe d'abscisse non nulle, la trajectoire qui l'atteint y est tangente et son angle est déterminé par les coordonnées du point, V et g. Au sommet, le tir vertical θ = π/2 intervient comme cas limite.

La fiche parabole approfondit la courbe qui décrit chaque trajectoire et la frontière de la famille.

La fiche mathématiques et balistique replace cette construction dans le domaine où elle a été étudiée de longue date.