polygone de Petrie

Imaginez que vous suiviez les arêtes d’un polyèdre régulier, en passant d’une arête à la suivante. Le parcours est choisi pour que chaque paire d’arêtes voisines se trouve sur une même face, mais que trois arêtes de suite ne restent jamais sur une seule face.

Le contour obtenu forme un polygone de Petrie si le parcours vérifie ces deux conditions. Une projection orthogonale d’une réalisation géométrique peut aider à visualiser ce parcours dans l’espace, mais elle ne permet pas, sans construction et paramètres explicitement donnés, d’identifier à elle seule le polygone de Petrie. Le critère reste celui des arêtes et des faces.

Un polygone de Petrie est un cycle d’arêtes choisi dans un polyèdre régulier. Deux arêtes consécutives du cycle appartiennent à une même face, tandis qu’aucun groupe de trois arêtes consécutives ne peut appartenir à une même face. La condition porte donc sur les faces rencontrées par le parcours, et non sur la seule forme plane du dessin.

Dans cette définition, une arête est un segment du polyèdre, une face est l’une de ses portions polygonales, et « consécutives » signifie placées l’une après l’autre dans le cycle. Le polyèdre de départ doit être régulier pour la notion étudiée ici.

Dans une réalisation géométrique donnée, une projection orthogonale sur un plan perpendiculaire à un axe de symétrie peut illustrer le parcours dans l’espace. Elle ne suffit toutefois pas, à elle seule, à établir qu’un contour est le polygone de Petrie : cette identification repose sur la règle d’appartenance des arêtes aux faces.

La structure se décrit avec quatre éléments. Le polyèdre régulier fournit le cadre tridimensionnel. Ses arêtes sont les segments parmi lesquels le parcours est sélectionné. Ses faces servent à tester les voisinages successifs. Enfin, le cycle ordonné des arêtes constitue le polygone de Petrie.

Les arêtes déterminent le cycle, puis les faces vérifient sa règle : chaque paire successive doit partager une face, alors qu’aucun triplet successif ne doit en partager une seule. Le polyèdre et son axe de symétrie interviennent aussi dans la lecture par projection.

Ces données suffisent à reconnaître le parcours combinatoire. Pour construire une projection orthogonale, il faut en plus une réalisation géométrique — notamment les coordonnées du polyèdre — et un axe de projection précisément choisi, avec sa position et son ordre de rotation. L’orientation du dessin, sa couleur et son échelle ne définissent pas le polygone.

Prenons le cube dont les sommets sont A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(1,1,0), D=(1,1,1), E=(0,1,1), F=(0,0,1), G=(1,0,1) et H=(0,1,0). Considérons le cycle fermé AB, BC, CD, DE, EF, FA. Les faces utiles sont Z0=ABCH, X1=BCDG, Y1=HCDE, Z1=GDEF, X0=AHEF et Y0=ABGF. Les paires successives AB–BC, BC–CD, CD–DE, DE–EF, EF–FA et FA–AB appartiennent respectivement à Z0, X1, Y1, Z1, X0 et Y0.

Dans ce cube, on prend la première arête et l’arête qui la suit, puis on vérifie qu’une face les contient toutes les deux ; les six faces indiquées fournissent ces contrôles, y compris pour FA–AB à la fermeture.
On examine ensuite les six groupes de trois arêtes successives : (AB,BC,CD) relève de Z0 puis de X1, (BC,CD,DE) de X1 puis de Y1, (CD,DE,EF) de Y1 puis de Z1, (DE,EF,FA) de Z1 puis de X0, (EF,FA,AB) de X0 puis de Y0 et (FA,AB,BC) de Y0 puis de Z0. Dans chaque cas, les deux faces successives diffèrent ; aucune face ne contient donc le triplet entier.

Si tous les contrôles de paire sont satisfaits et qu’aucun contrôle de triplet n’échoue, le cycle est un polygone de Petrie. Le contrôle est refaisable sans mesurer les longueurs : il porte uniquement sur l’ordre des arêtes et leur appartenance aux faces.

Pour étudier un polyèdre régulier, on peut commencer par lister ses arêtes et les faces auxquelles elles appartiennent. Cette organisation permet de tester le parcours arête par arête, plutôt que de juger la forme du contour à l’œil.

Pour obtenir une illustration plane, on fixe d’abord une réalisation géométrique du polyèdre et, si la construction le prévoit, on décrit complètement l’axe de projection ainsi que le plan perpendiculaire à cet axe. On projette alors orthogonalement. Cette image aide à visualiser le parcours, mais sa seule apparence ne permet pas de conclure : il faut vérifier séparément l’appartenance des paires et des triplets d’arêtes aux faces.

Un polygone de Petrie ne se reconnaît pas seulement à son apparence plane. Le critère qui tranche est l’appartenance des arêtes successives aux faces du polyèdre : deux à la fois, mais jamais trois à la fois. Un contour qui ressemble à un polygone de Petrie sans satisfaire ce test n’en est pas un.

Le mot « polygone » peut faire croire que la figure plane suffit. Ce serait un piège de lecture : une projection ou un tracé peut avoir la bonne apparence sans coder le bon parcours. Il faut revenir aux arêtes et aux faces du polyèdre de départ.

Une projection n’est qu’une représentation auxiliaire tant que la réalisation du polyèdre, l’axe et le plan de projection ne sont pas explicitement construits et paramétrés. Même lorsque ces données sont disponibles, l’apparence du contour ne remplace pas la règle d’appartenance aux faces, qui reste le seul critère de définition.

Enfin, « deux arêtes consécutives » ne signifie pas que trois arêtes consécutives peuvent être réunies dans une même face. La première propriété porte sur chaque paire, tandis que la seconde interdit explicitement chaque triplet.

Pour replacer cette notion dans une famille de problèmes géométriques, l’article Des points sur la sphère propose un contexte sur les configurations liées aux polyèdres réguliers. Le lecteur y gagne un angle plus large pour situer les symétries et les structures spatiales qui rendent ces objets intéressants.