AlgèbreNotion · Glossaire
problème des anniversaires
Le problème des anniversaires consiste à déterminer la probabilité que, dans un groupe de personnes, au moins deux aient la même date d’anniversaire, en supposant que les anniversaires sont indépendants et uniformément répartis entre 365 jours. Il montre pourquoi les coïncidences deviennent vite probables : le nombre de paires à comparer augmente bien plus rapidement que la taille du groupe.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Expliquer pourquoi la question porte sur toutes les paires et non sur une date fixée.
- Calculer la probabilité d’une coïncidence pour un groupe de 23 personnes.
- Interpréter les seuils de 20, 23 et 30 personnes sous les hypothèses du modèle.
- Repérer les changements de modèle qui rendent la formule classique inapplicable.
En clair
Réunissez 23 personnes et comparez leurs dates d’anniversaire, sans tenir compte de l’année de naissance. La question ne demande pas si quelqu’un partage votre date, mais si une paire quelconque partage la sienne. Or 23 personnes forment 253 paires possibles : les occasions de coïncidence s’accumulent beaucoup plus vite que le nombre de personnes.
Sous l’hypothèse de 365 dates également probables et indépendantes, la chance d’au moins une date commune dépasse alors 50 %. Le « paradoxe » vient de la surprise, pas d’une contradiction mathématique.
Définition
Le problème des anniversaires cherche la probabilité que, parmi un groupe de personnes, au moins deux aient la même date d’anniversaire. Le nombre de personnes est noté n. Le modèle classique suppose 365 dates possibles, toutes équiprobables, et des dates indépendantes d’une personne à l’autre. L’année de naissance n’intervient pas.
Le calcul direct de toutes les coïncidences se chevauche : un groupe peut contenir une paire, plusieurs paires ou trois personnes nées le même jour. On calcule donc l’événement contraire, dans lequel les n dates sont toutes différentes. Pour un entier n compris entre 0 et 365, sa probabilité vaut . La probabilité recherchée est alors .
Ce modèle donne environ 41,14 % pour 20 personnes, 50,73 % pour 23 et 70,63 % pour 30. Au-delà de 365 personnes, la probabilité vaut exactement 1 dans ce modèle, car au moins deux personnes doivent partager l’une des 365 dates.
Un exemple, pas à pas
Dans un groupe de 23 personnes, on retient trois données : 23 personnes, 365 dates possibles et des dates supposées équiprobables et indépendantes. On cherche la probabilité qu’au moins une paire partage une date.
1. La première personne peut avoir n’importe quelle date : le facteur vaut 365/365.
2. Pour éviter une coïncidence, la deuxième personne doit choisir l’une des 364 dates restantes, la troisième l’une des 363 restantes, et ainsi de suite.
3. Pour les 23 dates toutes différentes, on multiplie les 23 facteurs : .
4. On passe à l’événement contraire : , soit environ 50,73 %.
Le résultat dépasse bien 50 %. Un contrôle refaisable consiste à recalculer le produit avec 22 personnes : il reste inférieur à 50 %, ce qui confirme que 23 est le premier effectif à franchir ce seuil dans le modèle.
En pratique
Pour estimer un risque de collision, on commence souvent par calculer la probabilité qu’aucune collision ne se produise, puis on retranche ce résultat à 1. Ce détour est préférable lorsque les différents cas de collision peuvent se chevaucher.
Dans un groupe réel, il faut d’abord vérifier le modèle retenu : nombre de dates possibles, répartition supposée et indépendance. Si ces conditions changent, on conserve l’idée du complément, mais on remplace le produit uniforme par les probabilités adaptées.
Pour comparer l’intuition au calcul, on regarde le nombre de paires plutôt que le seul nombre de personnes. Avec 23 personnes, 253 comparaisons entre deux personnes sont possibles, ce qui rend le franchissement de 50 % moins mystérieux.
À ne pas confondre
Partager votre anniversaire. Cette question fixe une date à l’avance : votre date. Le problème classique cherche au contraire une date commune à n’importe quelle paire. Dans un groupe de 23 personnes, ces deux expériences n’ont donc pas la même probabilité.
Indépendance et incompatibilité. L’indépendance signifie que connaître une date ne change pas la loi des autres ; l’incompatibilité signifie que deux événements ne peuvent arriver ensemble. « A partage la date de B » et « A partage la date de C » peuvent se produire ensemble si les trois dates coïncident. On ne les additionne donc pas comme des cas incompatibles.
Une contradiction logique. Le terme « paradoxe » décrit ici un résultat contraire à l’intuition. Le calcul ne produit aucune contradiction : il révèle que l’on sous-estime spontanément le nombre de paires possibles.
Limites et pièges
Le seuil de 23 dépend du modèle. Il vaut pour 365 dates équiprobables et indépendantes. Si le nombre de dates possibles ou leur répartition change, le symptôme est qu’on ne peut plus employer les facteurs 365/365, 364/365, etc. ; il faut recalculer avec le nouveau modèle.
Les années bissextiles ne figurent pas dans l’hypothèse classique. Le modèle annoncé contient exactement 365 jours. Si le 29 février doit être représenté, il faut préciser sa probabilité au lieu d’ajouter mécaniquement un 366e jour équiprobable.
Le calcul change à partir de 366 personnes. Dans un modèle à 365 dates, le produit « toutes différentes » devient impossible : la probabilité d’au moins une coïncidence vaut exactement 1. Il ne faut pas prolonger la formule produit comme si une 366e date distincte existait.
« Au moins deux » ne signifie pas « exactement deux ». Le résultat inclut une paire isolée, plusieurs paires et trois personnes ou davantage partageant une date. Pour compter seulement les groupes contenant exactement une paire, il faut définir et calculer un autre événement.
Pour aller plus loin
Contraire (événement) — Approfondir le passage de « toutes les dates sont différentes » à « au moins une date coïncide ».
Dénombrement — Relier les 253 paires formées par 23 personnes aux occasions de coïncidence.
Mutuellement indépendants (événements) — Préciser ce que l’hypothèse d’indépendance autorise dans un calcul de probabilités.
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