Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
problème du Chevalier de Méré
Le problème du chevalier de Méré compare, pour des lancers indépendants de dés équilibrés, la probabilité d'obtenir au moins un 6 en quatre lancers d'un dé à celle d'obtenir au moins un double 6 en vingt-quatre lancers de deux dés. Le calcul par les événements contraires donne environ 51,77 % contre 49,14 % : le premier pari est donc légèrement plus favorable, contrairement à ce que suggère une analogie proportionnelle entre 4 et 24.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Calculer la probabilité d'obtenir au moins un 6 en quatre lancers.
- Calculer la probabilité d'obtenir au moins un double 6 en vingt-quatre lancers.
- Comparer 51,77 % et 49,14 % sans confondre valeur exacte et arrondi.
- Repérer pourquoi l'analogie entre quatre et vingt-quatre essais est trompeuse.
- Vérifier les hypothèses d'indépendance avant d'employer la formule du complément.
En clair
Imaginez deux paris. Dans le premier, vous lancez un dé quatre fois et gagnez si un 6 apparaît. Dans le second, vous lancez une paire de dés vingt-quatre fois et gagnez si les deux dés montrent 6 ensemble.
Les nombres semblent se compenser : un double 6 est six fois plus rare qu'un 6, mais le second pari accorde six fois plus d'essais. Cette proportion trompe, car les chances ne s'additionnent pas simplement. En comptant les chances de ne jamais gagner, on trouve environ 51,77 % pour le premier pari et 49,14 % pour le second.
Définition
Le problème du Chevalier de Méré compare deux événements obtenus par répétition d'épreuves indépendantes. L'événement A est « obtenir au moins un 6 en quatre lancers d'un dé équilibré ». L'événement B est « obtenir au moins un double 6 en vingt-quatre lancers d'une paire de dés équilibrés ». Pour chaque lancer, les résultats possibles sont supposés équiprobables et un lancer n'influence pas les suivants.
Le moyen direct consiste à calculer l'événement contraire : ne réussir aucune fois. Pour A, la probabilité d'éviter le 6 à un lancer vaut 5/6. Pour B, la probabilité d'éviter le double 6 à un lancer de la paire vaut 35/36. L'indépendance autorise alors les puissances : et .
On obtient P(A) = 671/1296 ≈ 0,5177 et P(B) ≈ 0,4914. L'écart vaut environ 0,02634, soit 2,63 points de pourcentage en faveur de A. Le paradoxe n'est donc pas une contradiction des probabilités : il révèle l'échec d'une analogie qui met 4 et 24 en proportion sans tenir compte des probabilités élémentaires 1/6 et 1/36.
Un exemple, pas à pas
Comparons les deux paris avec les données du problème : quatre lancers pour A, vingt-quatre lancers pour B, une chance sur six d'obtenir un 6 et une chance sur trente-six d'obtenir un double 6.
1. Pour A, un lancer échoue avec la probabilité 5/6. Les quatre lancers échouent donc avec la probabilité (5/6)⁴ = 625/1296 ≈ 0,4823.
2. Prenons le contraire : . Le premier pari réussit dans environ 51,77 % des séries de quatre lancers.
3. Pour B, un lancer de la paire échoue avec la probabilité 35/36. Les vingt-quatre lancers échouent avec la probabilité (35/36)²⁴ ≈ 0,5086.
4. Le second pari réussit donc avec . La figure réunit les deux calculs par le contraire et leur différence.
5. Contrôle : les probabilités de réussite et d'échec valent environ 0,5177 + 0,4823 = 1 pour A, puis 0,4914 + 0,5086 = 1 pour B. Comme 0,5177 > 0,4914, A est le pari le plus favorable.
En pratique
Pour une répétition indépendante où l'on cherche « au moins un succès », le bon réflexe est de compter d'abord « aucun succès ». Si la probabilité d'un succès à chaque essai vaut p et si l'on effectue n essais, la probabilité cherchée vaut .
Pour choisir entre deux paris répétés, calculez séparément leurs probabilités complètes. Comparer seulement le nombre d'essais ou seulement la chance d'un essai peut inverser le verdict.
Pour vérifier un calcul, additionnez la probabilité de réussir au moins une fois et celle de ne jamais réussir. Leur somme doit être 1. Dans le problème, ce contrôle donne 0,5177 + 0,4823 ≈ 1 et 0,4914 + 0,5086 ≈ 1.
À ne pas confondre
Le problème du Chevalier de Méré ne doit pas être confondu avec le problème des partis. Le critère est l'énoncé : si l'on compare « au moins un 6 en quatre lancers » et « au moins un double 6 en vingt-quatre lancers », il s'agit du problème étudié ici. La source précise que l'autre problème, également soumis à Pascal par le chevalier, est distinct.
Limites et pièges
Le calcul est exact sous les hypothèses du problème : dés équilibrés, lancers indépendants et mêmes conditions à chaque répétition. Trois pièges changent le résultat ou son interprétation.
Additionner les chances de chaque essai
Quatre chances de 1/6 ne donnent pas 4/6 pour « au moins un 6 », car plusieurs 6 peuvent apparaître dans la même série. Il faut compter le contraire, ce qui donne 1 − (5/6)⁴ ≈ 0,5177.
Supposer l'indépendance sans la vérifier
La puissance (1 − p)ⁿ suppose que chaque essai conserve la même probabilité d'échec et n'influence pas les autres. Si ces conditions ne sont pas réunies, il faut modéliser les probabilités conditionnelles au lieu d'appliquer cette formule.
Lire 51,77 % comme une garantie
Le seuil de 50 % sépare ici le pari légèrement favorable du pari légèrement défavorable : A est au-dessus, B au-dessous. Il ne prédit toutefois pas l'issue d'une série particulière ; il décrit la fréquence attendue sur de nombreuses séries comparables.
Pour aller plus loin
La fiche Contraire (événement) formalise le passage de « au moins un succès » à « aucun succès », qui porte tout le calcul.
La loi binomiale prolonge cette méthode lorsque l'on veut la probabilité de zéro, un, deux ou davantage de succès.
Le problème des partis présente l'autre problème soumis à Pascal par le même chevalier et permet de distinguer les deux épisodes.
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