problème des dés de Sicherman

Prenez deux dés ordinaires et additionnez leurs faces : 7 est la somme la plus fréquente. Remplacez-les par un dé portant 1, 2, 2, 3, 3, 4 et un autre portant 1, 3, 4, 5, 6, 8. Les faces ont changé, mais chaque somme de 2 à 12 conserve exactement le même nombre de façons d'apparaître.

Ces deux dés sont les dés de Sicherman. Leur singularité ne tient donc pas à un lancer particulier : sur l'ensemble des 36 couples de faces équiprobables, ils reproduisent toute la loi des sommes de deux dés classiques.

Les dés de Sicherman forment une paire de dés cubiques équilibrés et lancés indépendamment. Le premier porte les étiquettes 1, 2, 2, 3, 3, 4 ; le second porte 1, 3, 4, 5, 6, 8. Une étiquette répétée occupe plusieurs faces distinctes. Pour chaque somme possible, le nombre de couples ordonnés de faces est le même qu'avec deux dés standards numérotés de 1 à 6. Les probabilités sont donc identiques : de 1/36 pour les sommes 2 et 12 jusqu'à 6/36 pour la somme 7.

Cette propriété se code par des polynômes générateurs. Pour un dé standard, le coefficient de x^k dans le polynôme P est le nombre de faces étiquetées k. Pour les trois dés considérés, on pose : Le coefficient de x^s dans un produit compte les couples dont la somme vaut s. L'identité décisive est donc : $A(x)B(x)=P(x{)}^{2}A(x)B(x)=P(x)^2$.

Le problème de Sicherman demande quelles autres paires de dés cubiques, étiquetées par des entiers strictement positifs, satisfont cette identité. À l'échange des deux dés près, la paire (1, 2, 2, 3, 3, 4) et (1, 3, 4, 5, 6, 8) est l'unique solution non triviale ; la solution triviale reste la paire de dés standards. George Sicherman l'a découverte, puis Martin Gardner l'a popularisée dans Scientific American en 1978.

Vérifions la somme 7. Les données sont les faces 1, 2, 2, 3, 3, 4 du premier dé, les faces 1, 3, 4, 5, 6, 8 du second, et 6 × 6 = 36 couples de faces équiprobables.

1. Avec deux dés standards, les couples ordonnés donnant 7 sont (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) et (6, 1). Il y en a six.

2. Avec les dés de Sicherman, les valeurs complémentaires sont 1 + 6, 2 + 5, 3 + 4 et 4 + 3. La face 2 existe en deux exemplaires, tout comme la face 3 du premier dé.

3. Comptons les couples de faces : 1 × 1 + 2 × 1 + 2 × 1 + 1 × 1 = 6. La probabilité d'obtenir 7 vaut donc 6/36 = 1/6 dans les deux cas.

4. Le même comptage pour les sommes de 2 à 12 donne successivement 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2 et 1 couples. La figure compare ces onze effectifs terme à terme. Leur total vaut 36 dans chaque série, ce qui fournit un contrôle indépendant.

Pour vérifier une paire de dés renumérotés, on compte les 36 couples de faces et on regroupe les résultats par somme. Cette énumération est préférable à quelques lancers lorsque l'on veut une preuve exacte plutôt qu'une fréquence expérimentale.

Pour tester beaucoup de renumérotations, on associe un polynôme à chaque dé puis on multiplie les deux polynômes. Les coefficients du produit livrent tous les effectifs à la fois ; cette méthode devient plus sûre qu'une liste manuelle dès que les étiquettes se répètent.

Dans un jeu où seule la somme commande l'action, remplacer deux dés standards par la paire de Sicherman ne change aucune probabilité de somme. Si le jeu observe séparément la valeur de chaque dé, il faut conserver les dés standards, car leurs lois individuelles diffèrent.

Dés renumérotés et dés pipés. Un dé de Sicherman possède des étiquettes répétées ou absentes, mais ses six faces restent équiprobables. Un dé pipé attribue des probabilités inégales aux faces ; de simples fréquences observées différentes peuvent venir des fluctuations d'échantillonnage. Il faut une analyse statistique mettant en évidence un écart significatif pour trancher la confusion.

Même loi de la somme et mêmes lois individuelles. Les dés de Sicherman reproduisent la somme de deux dés standards, pas chaque dé séparément. Par exemple, leur premier dé ne peut jamais afficher 5, alors qu'un dé standard le peut ; les distributions marginales sont donc différentes.

Les 36 couples doivent être équiprobables. Le comptage des couples donne les probabilités seulement pour deux dés équilibrés et indépendants. Si les faces ou les lancers n'ont pas les mêmes chances, il faut pondérer chaque couple au lieu de lire directement les coefficients.

L'unicité a un cadre précis. La paire de Sicherman est l'unique solution non triviale pour deux dés cubiques à six faces portant des entiers strictement positifs, à l'échange des dés près. Modifier le nombre de faces ou autoriser d'autres types d'étiquettes sort du problème énoncé et exige une nouvelle recherche.

Une moyenne identique ne suffit pas. Chaque paire a bien une somme moyenne égale à 7, mais cette seule égalité ne garantit pas la même loi. Il faut comparer les onze effectifs, des sommes 2 à 12, ou vérifier l'identité complète des polynômes générateurs.

Les répétitions comptent comme des faces. Pour la somme 7, la combinaison de valeurs 2 + 5 représente deux couples, car le premier dé porte deux faces étiquetées 2. Oublier cette multiplicité fait tomber l'effectif de 6 à 5.

Fonction génératrice — Voir pourquoi les coefficients d'un produit encodent tous les nombres de façons d'obtenir chaque somme.

variable aléatoire — Replacer la somme des deux résultats dans le langage général des valeurs possibles et de leur loi de probabilité.