quadrature d'un carré

Imaginez un carré quadrillé de côté 5. Il peut être couvert sans trou ni chevauchement par huit carrés plus petits : un de côté 3, trois de côté 2 et quatre de côté 1. Les pièces remplissent exactement la même surface que le grand carré.

Ce découpage est une quadrature du carré. Le simple fait de paver est peu exigeant ; le problème devient riche lorsque les côtés doivent être entiers, tous différents ou premiers entre eux.

Une quadrature d'un carré est un pavage : le grand carré est décomposé en un nombre fini de carrés plus petits, dont les intérieurs ne se chevauchent pas et dont l'union remplit le carré initial. Sans autre condition, une grille régulière fournit immédiatement une solution, ce qui rend le problème trivial.

Les contraintes définissent les variantes intéressantes. Dans une quadrature entière, le grand carré et toutes les pièces ont des côtés de longueurs entières. Une quadrature parfaite impose en plus que toutes les pièces aient des tailles distinctes. Une autre variante interdit qu'un sous-ensemble propre d'au moins deux pièces reconstitue un rectangle. Enfin, un plus grand diviseur commun des longueurs égal à 1 indique seulement que le pavage est primitif : ce test ne suffit pas, à lui seul, à le qualifier de « quilt de Mrs Perkins ». Selon la définition retenue, il faut encore vérifier séparément l'absence de tailles répétées et celle d'un rectangle formé par plusieurs pièces.

Toute proposition doit au minimum satisfaire la conservation des aires. Si le grand carré a pour côté L et si les petits carrés ont pour côtés s₁, s₂, …, s_n, alors : $L^2={\sum }_{i=1}^n{s}_i^{2}L^2=\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}s\_i^2$. Cette égalité est nécessaire, mais elle ne suffit pas : les carrés doivent aussi s'agencer géométriquement sans trou ni recouvrement.

Considérons un carré de côté 5. Le pavage proposé contient un carré de côté 3, trois carrés de côté 2 et quatre carrés de côté 1. Le schéma matérialise leur agencement sur une grille entière.

Données.
Grand carré : côté 5.
Pièces : 1 carré de côté 3, 3 carrés de côté 2 et 4 carrés de côté 1.
Nombre total de pièces : 1 + 3 + 4 = 8.

Étape 1. L'aire du grand carré vaut 5² = 25 unités carrées.

Étape 2. La somme des aires des huit pièces vaut : $1\times 3^2+3\times 2^2+4\times 1^2=9+12+4=251\backslash times3^2+3\backslash times2^2+4\backslash times1^2=9+12+4=25$. Les aires concordent exactement.

Étape 3. Plaçons le carré 3 × 3 dans l'angle supérieur gauche. Un carré 2 × 2 occupe l'angle supérieur droit, deux carrés 1 × 1 terminent la bande droite, puis deux carrés 2 × 2 et deux carrés 1 × 1 remplissent la bande inférieure.

Résultat et contrôle. Chaque cellule unité de la grille appartient à une seule pièce : il n'y a ni recouvrement ni zone vide. Ce pavage est entier, mais il n'est pas parfait : les côtés 2 et 1 sont répétés.

Pour contrôler un dessin, commencez par vérifier que chaque pièce est bien un carré, puis que les pièces couvrent tout le grand carré sans chevauchement. Le quadrillage est préférable à une estimation visuelle lorsque les côtés sont entiers.

Pour écarter rapidement une proposition, additionnez les aires des petits carrés. Une somme différente de l'aire du grand carré prouve l'échec ; une somme égale impose encore de vérifier l'agencement.

Pour identifier la variante, examinez ensuite les longueurs. Des valeurs entières caractérisent le cadre entier ; aucune répétition caractérise un pavage parfait ; un plus grand diviseur commun égal à 1 indique seulement un pavage primitif et ne suffit pas à caractériser un quilt de Mrs Perkins. La perfection et l'absence de rectangle formé par plusieurs pièces doivent être vérifiées séparément.

Quadrature d'un carré et carré parfait. La première est un pavage géométrique ; le second est un entier égal au carré d'un entier. Le nombre 25 est un carré parfait, tandis que le découpage d'un carré 5 × 5 en huit pièces est une quadrature.

Quadrature d'un carré et quadrature du cercle. Ici, on découpe un carré en carrés plus petits. La quadrature du cercle demande de construire un carré de même aire qu'un disque ; aucun pavage de carrés n'est requis.

Pavage parfait et pavage régulier. « Parfait » signifie ici que toutes les tailles de pièces sont distinctes. Une grille de neuf carrés identiques est régulière, mais elle n'est pas une quadrature parfaite.

L'égalité des aires ne prouve pas le pavage. Des aires qui totalisent L² peuvent correspondre à des carrés impossibles à placer ensemble. Il faut contrôler à la fois les aires et l'agencement bord à bord.

« Plus petits » exclut la pièce unique. Recouvrir un carré par lui-même ne constitue pas le découpage recherché. Chaque pièce doit avoir un côté strictement inférieur à celui du carré pavé.

Entier ne signifie pas parfait. Dans le pavage 5 × 5, toutes les longueurs sont entières, mais deux tailles se répètent. Il faut vérifier séparément l'intégralité des côtés et l'absence de tailles égales.

Les contraintes sont indépendantes. Le pavage 5 × 5 a des longueurs de plus grand diviseur commun 1, mais il n'est pas parfait et deux carrés 2 × 2 adjacents forment un rectangle 4 × 2. Il faut annoncer précisément la variante étudiée.

Les contraintes transforment un pavage immédiat en problème de recherche : on peut imposer des côtés entiers, des tailles toutes distinctes, l'absence de rectangle formé par plusieurs pièces ou des longueurs premières entre elles. Dudeney, le collectif Blanche Descartes formé de Brooks, Smith, Stone et Tutte à Cambridge, Roland Sprague et Martin Gardner ont contribué à ces questions.

L'article Éblouissants pavages de Penrose ouvre sur une autre famille de pavages et aide à comparer les contraintes imposées aux pièces.