GéométrieNotion · Glossaire
Radon Johann
Johann Radon est un mathématicien dont le nom désigne des résultats d’analyse. La transformée de Radon associe à une fonction ses intégrales le long des droites du plan ; avec assez de directions et de positions et sous des hypothèses adaptées, ces projections reconstruisent la fonction, principe de la tomographie. Les mesures de Radon structurent la théorie de la mesure sur les espaces topologiques localement compacts, tandis que le théorème de Radon-Nikodym exprime, sous ses hypothèses, une mesure par une densité par rapport à une autre.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Situer Johann Radon, sa formation et le domaine principal de ses travaux.
- Voir sur un disque comment une projection le long d'une droite produit une valeur calculable.
- Distinguer transformée de Radon, mesure de Radon et théorème de Radon-Nikodym.
- Relier le principe de reconstruction à la tomographie, à l'astrophysique et à la géophysique.
En clair
Né en 1887, Johann Radon se forme à l'université de Vienne avant de mener sa carrière en Allemagne et en Autriche. Son idée la plus visuelle ressemble à un examen par ombres : une forme plane est observée suivant de nombreuses droites, et chaque observation additionne ce que la droite traverse.
En réunissant ces projections, la transformée de Radon rend possible la reconstruction de la fonction d'origine. Ce principe relie l'analyse mathématique à la tomographie, mais aussi à l'astrophysique et à la géophysique.
Définition
Johann Radon (1887–1956) est un mathématicien autrichien formé à l'université de Vienne. Sa carrière se déroule en Allemagne et en Autriche, et ses recherches appartiennent principalement à l'analyse mathématique. Son nom reste attaché à plusieurs objets distincts de la théorie de la mesure et de l'intégration.
La transformée de Radon associe à une fonction de deux variables ses intégrales le long des droites du plan, repérées par leur direction et leur position. Ces valeurs sont des projections. Lorsqu'un cadre mathématique fournit assez de projections et les hypothèses nécessaires, une formule d'inversion reconstruit la fonction. Ce mécanisme est à la base d'applications en tomographie médicale, en astrophysique et en géophysique.
Sur un espace topologique localement compact séparé, une mesure de Radon positive est reliée, par un théorème de représentation, à une forme linéaire positive continue sur l'espace des fonctions continues à support compact. Le théorème de Radon-Nikodym concerne une autre question : la dérivation d'une mesure par rapport à une autre. Ces trois emplois du nom de Radon sont liés à ses travaux, mais ils ne sont pas interchangeables.
Un exemple, pas à pas
Prenons une fonction très simple : elle vaut 1 à l'intérieur d'un disque de rayon 1 et 0 à l'extérieur. Une projection horizontale additionne ses valeurs sur une droite située à une hauteur donnée, notée s. Les données sont donc le rayon 1, les valeurs 0 et 1 de la fonction, et la hauteur s.
1. À la hauteur s = 0, la droite coupe le disque suivant un segment de longueur 2 ; l'intégrale vaut donc 2.
2. À la hauteur s = 0,6, le demi-segment vaut √(1 − 0,62) = 0,8 ; sa longueur, donc la projection, vaut 1,6.
3. À la hauteur s = 1, la droite est tangente au disque : le segment traversé a une longueur nulle et la projection vaut 0.
4. Pour toute hauteur comprise entre −1 et 1, la projection R(s) est donnée par :
2. À la hauteur s = 0,6, le demi-segment vaut √(1 − 0,62) = 0,8 ; sa longueur, donc la projection, vaut 1,6.
3. À la hauteur s = 1, la droite est tangente au disque : le segment traversé a une longueur nulle et la projection vaut 0.
4. Pour toute hauteur comprise entre −1 et 1, la projection R(s) est donnée par :
Le contrôle reprend les valeurs précédentes : R(0) = 2, R(0,6) = 1,6 et R(1) = 0. La variation de ces longueurs encode ici le profil circulaire de l'objet.
En pratique
En tomographie médicale, on recueille des projections suivant plusieurs directions avant de reconstruire une image de l'intérieur. La transformée de Radon est adaptée lorsque les données observées sont précisément des intégrales le long de trajectoires ; si les valeurs de la fonction sont déjà connues point par point, cette étape de reconstruction n'est pas nécessaire.
En astrophysique, le même principe intervient quand l'observation fournit des projections d'une distribution plutôt qu'un accès direct à celle-ci. Le geste mathématique consiste à relier chaque projection à la direction et à la position de la droite correspondante.
En géophysique, une reconstruction du même type exploite des données intégrées pour retrouver une structure inaccessible directement. Le critère décisif reste la nature des données : une collection de projections appelle une méthode d'inversion, tandis qu'une mesure locale appelle un traitement direct.
À ne pas confondre
Johann Radon et le radon. Le premier est un mathématicien autrichien né en 1887 ; le second est un gaz radioactif. Une mention de transformée, de mesure ou de théorème Radon-Nikodym renvoie au mathématicien, tandis qu'une mention de radioactivité renvoie au gaz. L'homonymie ne traduit aucun lien entre les deux.
Transformée de Radon et mesure de Radon. La transformée produit des projections en intégrant une fonction le long de droites. Une mesure de Radon appartient à la théorie de la mesure sur des espaces topologiques localement compacts. Le type de donnée tranche : une famille de projections n'est pas une mesure portant simplement le même nom.
Transformée de Radon et théorème de Radon-Nikodym. La première sert à reconstruire une fonction à partir de projections. Le second traite la dérivation d'une mesure par rapport à une autre. Une reconstruction tomographique relève de la transformée, pas du théorème de dérivation des mesures.
Limites et pièges
Toutes les droites ne passent pas par un même point. Pour repérer les projections utiles à une reconstruction plane, il faut faire varier à la fois la direction et la position des droites. Ne retenir que des droites concourantes laisse de côté une partie des données nécessaires dans le cadre général.
Une projection isolée ne détermine pas la fonction. Deux objets différents peuvent produire la même intégrale dans une direction donnée. Le symptôme est une information réduite à un seul profil ; il faut disposer d'un ensemble suffisamment riche de directions et de positions, puis employer une inversion adaptée.
La reconstruction dépend d'un cadre précis. L'existence d'une formule d'inversion ne signifie pas que toute collection arbitraire de nombres provient d'une fonction ni qu'une fonction quelconque est reconstruite sans hypothèse. Il faut vérifier le domaine de définition, la régularité exigée et la cohérence des projections avant d'inverser.
La figure du disque est un cas idéal. À |s| = 1, la projection vaut exactement 0, et elle est nulle au-delà. Des données réelles peuvent être incomplètes ou affectées d'erreurs ; il faut alors distinguer la transformée mathématique exacte de la reconstruction numérique obtenue à partir des mesures.
Pour aller plus loin
La transformée de Radon ouvre sur une question générale de problème inverse : quelles observations indirectes suffisent pour retrouver un objet, et avec quelle stabilité ? Le cas du disque montre que les projections encodent une forme ; l'étape suivante consiste à étudier les conditions d'inversion et l'effet de données incomplètes.
Du côté de la théorie de la mesure, la mesure de Radon et le théorème de Radon-Nikodym conduisent vers deux prolongements différents : représenter des formes linéaires par des mesures, puis exprimer une mesure à l'aide d'une densité par rapport à une autre lorsque les hypothèses requises sont satisfaites.
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