suite infinie

Écrivons 1, puis 1/2, puis 1/3, et continuons selon la même règle. Chaque valeur occupe une place numérotée : 0 pour la première, 1 pour la deuxième, 2 pour la troisième, et ainsi de suite. Une suite est dite infinie lorsque ces numéros de place forment un ensemble infini. Elle n'a donc pas de dernier indice, même si l'on ne peut en afficher qu'un début. Les valeurs, elles, peuvent se répéter : c'est le nombre d'indices qui compte.

Une suite associe un terme à chaque entier choisi comme indice. Notons I l'ensemble des indices et u_n le terme associé à l'indice n. La suite est infinie exactement lorsque I est une partie infinie de l'ensemble ℕ des entiers naturels. Cette condition s'écrit :

Le cas le plus courant prend I égal à ℕ tout entier. On peut aussi commencer à un entier naturel n₀ et garder tous les indices n supérieurs ou égaux à n₀. Plus généralement, toute partie infinie de ℕ convient, par exemple l'ensemble des indices pairs. En revanche, la nature des valeurs ne décide pas si la suite est infinie : une suite constante possède une infinité de termes indexés, bien qu'ils aient tous la même valeur. Une suite finie se distingue uniquement par un ensemble d'indices fini.

Une suite infinie réunit quatre éléments. L'ensemble d'indices I indique les places disponibles et doit être infini. Un indice n désigne une place particulière dans I. Le terme u_n est la valeur attachée à cette place. Enfin, une règle ou des données déterminent chaque terme, par exemple u_n = 1/(n + 1) pour tout entier naturel n à partir de 0.

L'indice doit appartenir à I avant que le terme correspondant soit défini. La règle dépend ensuite de cet indice pour produire la valeur. Ces données suffisent à calculer n'importe quel terme demandé, sans qu'il soit nécessaire d'écrire la suite entière. Le tracé choisi, la couleur des points ou le nombre de termes affichés ne font pas partie de la définition.

Considérons une suite dont le terme u_n est défini par la règle suivante :

Données. L'ensemble d'indices contient tous les entiers naturels n supérieurs ou égaux à 0. La règle est u_n = 1/(n + 1). Nous calculons les quatre termes d'indices 0, 1, 2 et 3.

1. Pour n = 0, u₀ = 1/(0 + 1) = 1.
2. Pour n = 1, u₁ = 1/(1 + 1) = 1/2.
3. Pour n = 2, u₂ = 1/(2 + 1) = 1/3.
4. Pour n = 3, u₃ = 1/(3 + 1) = 1/4.
5. Quel que soit l'indice n choisi, l'indice n + 1 est encore admis. Il n'existe donc aucun dernier indice.

Le contrôle est refaisable avec l'indice suivant : n = 4 donne u₄ = 1/(4 + 1) = 1/5. La suite est infinie parce que l'on peut toujours passer à l'indice suivant, et non parce que les fractions deviennent petites.

Pour modéliser une valeur qui dépend d'un rang entier, on choisit une suite infinie lorsque le rang n'a pas de borne finale fixée. Si seuls dix rangs sont prévus, une suite finie ou une simple liste décrit plus fidèlement les données.

Pour calculer un terme très éloigné, une formule explicite comme u_n = 1/(n + 1) donne directement la valeur à l'indice demandé. Une définition par récurrence est préférable lorsque chaque terme se construit naturellement à partir des précédents.

Pour étudier le comportement à long terme, on examine les termes lorsque l'indice devient arbitrairement grand. Cette étude concerne une propriété de la suite, comme sa convergence ou sa divergence ; elle ne change pas le caractère infini de son ensemble d'indices.

Suite infinie et suite finie. Le critère est l'ensemble d'indices. Les indices 0, 1, 2 et 3 forment une suite finie de quatre termes ; tous les entiers naturels à partir de 0 indexent une suite infinie.

Suite infinie et série infinie. Une suite énumère des termes u_n. Une série étudie les sommes partielles obtenues en additionnant ces termes. Ainsi, 1, 1/2, 1/3, … décrit une suite ; 1 + 1/2 + 1/3 + … désigne la série associée.

Une partie infinie de ℕ n'est pas forcément ℕ. Une suite définie seulement pour les indices pairs 0, 2, 4, … reste infinie. Il faut lire le domaine d'indexation au lieu de supposer que chaque entier est admis.

Des valeurs répétées ne rendent pas la suite finie. Si u_n = 1 pour tout entier naturel n, une seule valeur apparaît, mais une infinité de termes sont indexés. Il faut compter les indices, pas les valeurs distinctes.

Les points de suspension ne suffisent pas. L'écriture 1, 1/2, 1/3, … suggère une continuation sans préciser seule tous les termes. Il faut fournir une règle ou un domaine explicite, comme u_n = 1/(n + 1) pour n ≥ 0.

L'origine des indices est une convention à annoncer. Selon le contexte, ℕ peut commencer à 0 ou à 1. Écrire n ≥ 0 ou n ≥ 1 évite de décaler tous les termes et rend le premier indice vérifiable.

La fiche divergence d'une suite numérique montre comment reconnaître une suite qui ne tend vers aucune limite finie.

La fiche convergence d'une série numérique prolonge l'étude en examinant la limite des sommes partielles d'une suite de termes.